تذکر:
سعی کنید سوالاتان را دقیق بپرسید یعنی:
$,p,a,b,c,d$ از چه مجموعه ای آمده اند مثلااعداد طبیعی هستند یا صحیح و یا .....
$\color{red}{ حالت1 }$
$\color{red}{ : }$
به طور مثال اگر فرض کنید $,p,a,b,c,d$ طبیعی باشند در این صورت مساله شما ناصحیح است
مثال نقض:
$$
a=b=5 , c=1,d=7$$
$\color{blue}{ بازنویسی }$
$\color{blue}{ صحیح }$
$\color{blue}{ سوال }$
$\color{blue}{ : }$
اگر فرض کنیم $p$ عدد اول باشد در این صورت هر عدد اول را میتوان به صورت یکتا بصورت جمع مربع کامل دو عدد طبیعی نوست.
راهنمایی اثبات:
فرض کنیم بصورت یکتا نتوان نوشت یعنی وجود داشته باشد $c,d$ بطوری که:
$$p=a^2+b^2=c^2+d^2$$
ابتدا بوضوح $1=(a,b)$ , $1=(c,d)$
$$a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2-b^2d^2=$$
$$d^2(a^2+b^2)-(c^2+d^2)b^2=$$
$$p(d^2-b^2) \Rightarrow $$
$$a^2d^2-b^2c^2=0 , mod p$$
بنابرین داریم:
$p|a^2d^2-b^2c^2=(ad-bc)(ad+bc)$
حال با حالت بندی به جواب مورد نظر میرسید(؟)
