به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
86 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

enter image description here منبع سوال:سوال مرحله دوم المپیاد سال 1369

دارای دیدگاه توسط
مانند صفحه شطرنج رنگ بزنید سپس باقیمانده مهره های سیاه و سفید بر ۲ را حساب کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

شکل را با رنگ های سیاه و سفید رنگ میکنیم که هیچ خانه سیاهی با خانه سیاه دیگری ضلع مشترک نداشته باشد . (مانند صفحه شطرنج و اولین خانه رنگ سیاه) در این صورت تعداد خانه ها با رنگ سیاه یکی بیشتر از تعداد خانه ها با رنگ سفید خواهد بود . (اثبات اینکه چنین رنگ آمیزی وجود دارد به راحتی با استقرا شدنی است : یعنی اگر برای جدول 5n امکان پذیر باشد برای 5(n+1) نیز امکان پذیر است)

با گذاشتن شکل های 1 و 4 و 5 تعداد خانه های سفید و سیاهی که پوشیده میشود همیشه برابر است (مثلا شکل 1 همیشه 3 خانه سیاه و 3 خانه سفید را میپوشاند) پس بعد از گذاشتن این 3 شکل در صفحه باز هم تعداد خانه های سیاه یکی بیشتر از سفید میماند . اگر بیشتر بودن خانه های سفید از سیاه را با عدد منفی نشان دهیم (مثلا اگه سفید 2 تا بیشتر از سیاه بود اختلاف رو $-2$ در نظر میگیریم) با گذاشتن شکل های 2 و 3 در هر مرحله به اختلاف یا 3 تا اضاف شده یا 3 تا کم میشود (شکل 2: 4 خانه از یکرنگ و 1 خانه از رنگ دیگر را میپوشاند که اختلاف آن ها 3 است شکل شماره 3 نیز به همین صورت) پس باقیمانده اختلاف بر 3 همیشه یکسان و برابر یک میباشد پس نمیتوان همه صفحه را طوری پوشاند که همه خانه های سیاه و سفید پوشیده شده باشند .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...