اگر $a^{2} +b^{2} >c^{2}+ d^{2}$ و $a+b=c+d$نشان دهید $a^{3} +b^{3} >c^{3}+ d^{3}$

Question

برای اعداد حقیقی و مثبت$a,b,c,d$اگر داشته باشیم $a^{2} +b^{2} >c^{2}+ d^{2}$ و $a+b=c+d$

$$a^{3} +b^{3} >c^{3}+ d^{3}$$

Answer 1

$(a+b)^2=(c+d)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$

ولی چون $a^2+b^2>c^2+d^2$ نتیجه میشود $cd>ab$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)>c^3+d^3=(c+d)(c^2+d^2-cd)$ ،

$a+b$ و $c+d$ را حذف میکنیم سپس کافیست ثابت کنیم : $a^2+b^2+cd>c^2+d^2+ab$