به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,484 بازدید
در دانشگاه توسط yosef.sobhi (321 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید رده توابع ساده روی یک فضای اندازه تحت ترکیبات خطی ، حاصلضرب ، ماکزیمم متناهی و مینیمم متناهی بسته است .

توسط jafar (532 امتیاز)
+3
تلاش خودتون واسه حلش چی بوده؟
میدونین منظور سوال چیه؟
توسط yosef.sobhi (321 امتیاز)
+1
با سلام: یک تابع ساده که تعریف شده بسته است  اگه آن تابع را دوباره ترکیب کنیم حاصل ضرب آن ماکزیمم متناهی و می نیمم متناهی آن نیز  دوباره بسته است.
توسط admin (1,740 امتیاز)
+1
من نه سوال و نه دیدگاهتونو متوجه نمیشم!
یوسف عزیز: لطفا توجه کنید که اگه واقعا میخواید به جواب برسید بهتره سوالتونو کامل توضیح بدید. کاربرهای دیگه وقتی سوالتونو متوجه نشن چطور انتظار دارید جواب بدن؟
به نظر من حتما از استاد یا دوستاتون بخواید که در ترجمه و درک درست مساله بهتون کمک کنن.
درک درست مساله مثل حل نصف مساله هست.
و این فقط فکر بنده نیست. همونطور که میبینید @jafar هم فکر میکنه شما سوالو متوجه نشدین.
الان باید هم سوالتون ویرایش بشه هم ترجمه بشه هم براتون توضیح داده بشه که منظور سوال چیه و هم حل رو توضیح بدن. و کاربرها رغبتی به انجام این همه کار ندارن. بهتره شما سوال رو طوری بپرسید که کاربران دیگر فقط روی جواب به شما تمرکز کنن.
ممنون که درک می کنید.
توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
اگه میشه در هر پرسشی که مطرح می کنید فقط یک سوال بپرسید.
به جای اینکه یه جا چند تا سوال بپرسید در چندین سوال جداگانه پرسش هاتونو مطرح کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (17,407 امتیاز)

اولا یاد آوری می کنیم که یک تابع ساده روی $ X$ یک ترکیب خطی متناهی از توابع مشخصه از مجموعه های اندازه پذیر با ضرایب مختلط است. یعنی تابع ساده $f:X\to\mathbb C $ را می توان به صورت $$ f=\sum_1^n c_k\chi_{E_k} $$ که $E_k\subset X $ اندازه پذیر و $ c_k\in\mathbb C $ .

البته معمولا ما نمایش استاندارد توابع ساده را در نظر می گیریم. یعنی اگر $ f$ یک تابع ساده باشد در اینصورت می توان نشان داد که همیشه می توان آن را به صورت $$ f=\sum_1^n c_k\chi_{E_k} $$ که $ c_k\in\mathbb C $ و $E_1,...E_n $ زیرمجموعه های مجزای $ X $ که اجتماع آنها $ X $ و با ضرایب مجزای $ c_k $ هستند.

حال فرض کنید که $f $ و $ g$ دو تابع ساده باشند و نشان می دهیم که مجموع و ضرب آنها نیز ساده است.

بنابر آنچه که در بالا گفتیم $f=\sum_1^m a_k\chi_{A_k} $ و $ g=\sum_1^n b_k\chi_{B_k}$ .

برای اینکه ثابت کنیم $ f+g $ و $ fg$ ساده هستند باید ثابت کنیم به صورت $\sum_1^p c_k\chi_{C_k} $ هستند.

قرار دهید $ Cij:=A_i\cap B_j $ در اینصورت $ A_i=\bigcup_{j=1}^n C_ij $ و $B_j=\bigcup_{i=1}^m C_ij $ (چرا؟)

چون $ C_ij $ ها مجزا بوده(چرا؟) و لذا داریم: $$ \chi_{A_i}=\sum_{j=1}^n \chi_{C_{ij}} \\ \chi_{B_j}=\sum_{i=1}^m \chi_{C_{ij}} $$ بنابراین داریم: $$ f=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i\chi_{C_{ij}}\\ g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n b_j\chi_{C_{ij}}$$ و لذا داریم: $$ f+g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(a_i+b_j)\chi_{C_{ij}}\\ f.g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(a_i.b_j)\chi_{C_{ij}}$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...