اولا یاد آوری می کنیم که یک تابع ساده روی $ X$ یک ترکیب خطی متناهی از توابع مشخصه از مجموعه های اندازه پذیر با ضرایب مختلط است. یعنی تابع ساده $f:X\to\mathbb C $ را می توان به صورت $$ f=\sum_1^n c_k\chi_{E_k} $$
که $E_k\subset X $ اندازه پذیر و $ c_k\in\mathbb C $ .
البته معمولا ما نمایش استاندارد توابع ساده را در نظر می گیریم. یعنی اگر $ f$ یک تابع ساده باشد در اینصورت می توان نشان داد که همیشه می توان آن را به صورت $$ f=\sum_1^n c_k\chi_{E_k} $$
که $ c_k\in\mathbb C $ و $E_1,...E_n $ زیرمجموعه های مجزای $ X $ که اجتماع آنها $ X $ و با ضرایب مجزای $ c_k $ هستند.
حال فرض کنید که $f $ و $ g$ دو تابع ساده باشند و نشان می دهیم که مجموع و ضرب آنها نیز ساده است.
بنابر آنچه که در بالا گفتیم $f=\sum_1^m a_k\chi_{A_k} $ و $ g=\sum_1^n b_k\chi_{B_k}$ .
برای اینکه ثابت کنیم $ f+g $ و $ fg$ ساده هستند باید ثابت کنیم به صورت $\sum_1^p c_k\chi_{C_k} $ هستند.
قرار دهید $ Cij:=A_i\cap B_j $ در اینصورت $ A_i=\bigcup_{j=1}^n C_ij $ و $B_j=\bigcup_{i=1}^m C_ij $ (چرا؟)
چون $ C_ij $ ها مجزا بوده(چرا؟) و لذا داریم:
$$ \chi_{A_i}=\sum_{j=1}^n \chi_{C_{ij}} \\ \chi_{B_j}=\sum_{i=1}^m \chi_{C_{ij}} $$
بنابراین داریم:
$$ f=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i\chi_{C_{ij}}\\ g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n b_j\chi_{C_{ij}}$$
و لذا داریم:
$$ f+g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(a_i+b_j)\chi_{C_{ij}}\\ f.g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(a_i.b_j)\chi_{C_{ij}}$$
