مجموعه های بورل تحت انتقال پایا هستند.

Question

ثابت کنید که مجموعه های بورل تحت انتقال پایا هستند.

Comments

درسته ولی اون مربوط به لبگ اندازه پذیراس

---

و سیگماجبر بورل زیرمجموعه ای از سیگماجبر لبگ است. پس اگر برای لبگ ها درست باشد برای بورل ها هم درست است.

---

باز هم قانع نشدم چیزی که شما میگید درسته.یعنی هر لبگی تحت انتقال باز هم لبگ اندازه پذیره
پس هر بورلی چون لبگه تحت انتقال لبگ اندازه پذیر میشه ولی بورل بودنش چه؟!!!!!!!

---

درسته. شاید من بد گفتم. ولی اگر اون قضیه در کتاب فولند رو بخونید میبینید که اول برای بورل ها ثابت کرده و بعد برای لبگ.

---

خوندم ولی متوجه نشدم اگه لطف کنید توضیح بدید ممنون میشم

Answer 1

اگر$B$سیگا جبر مجموعه های بورل در$R^{n}$ باشد و تعریف کنیم $$A= \big\{E \subseteq B: a+E \in B \forall a \in R^{n}\big\}$$ واضح است که به ازای هر مجموعه باز چون $E$وهر $a$ داریم $a+E$ باز است(؟) یعنی عضو $B$است پس $A$شامل همه ی مجموعه های باز است و طبق تعریف مجموعه ی فوق $A \subseteq B$ نیز هست.

از طرفی براحتی ثابت میشود که $A$سیگما جبر نیز هست(؟) و چون شامل همه ی مجموعه های باز است و سیگما جبر بورل یعنی$B$ کوچکترین سیگما جبر شامل همه ی بازهاست پس باید$B \subseteq A$نیز باشد که در اینحالت از دو شمول بدست آمده داریم$A=B$که حکم تمام است.

Comments

@navid : فکر کنم من سوالتونو اشتباه متوجه شدم. من فکر کردم منظورتون اینه که اندازه مجموعه های بورل تحت انتقال پایاست!

---

بله منظورم همون پاسخ دوم بود فقط تو اثبات سیگما جبر بودن$A$مشکل دارم

---

میشه سیگما جبر بودنش رو هم ثابت کنید

---

برای اثبات سیگما جبر بودن$A$کافی است سه مورد زیر را ثابت کنیم

1- چون$\emptyset \in B$و $a + \emptyset = \emptyset \in B$بنابراین$\emptyset \in A$

2-اگر$E,F \in A$آنگاه چون$a+E \bigcap a+F$$=$$a+ E\bigcap F$ و $a+E,a+F \in B$و سیگما جبر بودن$B$داریم$a+E \bigcap a+F \in B$در نتیجه خواهیم داشت$E \bigcap F \in A$

3-باز هم شبیه فوق چون$a + \bigcup_1^ \infty E_{i}= \bigcup_1^ \infty (a + E_{i} )$خواهیم داشت$\bigcup_1^ \infty E_{i} \in A$