ارتباط هندسه و فضای برداری و هندسه تحلیلی

Question

سلام دوستان من یک سوال دارم که حل کردنی نیست و مربوط به مفهومه . در مورد فضای برداری و هندسه تحلیلی. سوالم این هست که هر عضو در فضای برداری را بردار میگوییم . و فضای برداری مجرده و ممکنه خیلی از مجموعه هارو در بر بگیرد . حالا $R^n$یک فضای برداری است . که عضو های آن را بردار گوییم و هر بردار یک $n$ تایی مرتب است . در هندسه ما فقط تا فضای سه بعدی داریم . و بیشتر از سه بعد در هندسه تعریف نمیشه یعنی نمیتونیم . هندسه تحلیلی هم که مرکبه از فضای برداری $R^n$ و هندسه اقلیدسی در دو یا سه بعدی . چرا بیشتر از $3$ میگیرند فضای برداری را .مگر ما میتوانیم هندسه را بیشتر از سه بعد تعریف کنیم که برای هندسه تحلیلی بیشتر از سه بعد تعریف میکنند ؟

و سوال آخرم اینکه هندسه ایی داریم که بیشتر از 3 بعد تعریف بشود ؟

Answer 1

در هیچ جایی گفته نشده‌است که هندسه به فضاهای برداری با بعد حداکثر سه محدود می‌شوند. بنابراین ابهامی که شما دارید از ذهنیتی است که در محیط خاصی برایتان پیش آمده‌است که البته اشتباه شما نیست و مربوط به مدرسین مربوطه می‌شود. هندسه هیچ شرط و محدودیتی مرتبط با بعد ندارد. هندسه‌ها انواع گوناگونی دارند همچون هندسهٔ اقلیدسی که برای هر $\mathbb{R}^n$ ای تعریف می‌شود، هندسهٔ کروی که به رویهٔ یک کره محدود است، هندسهٔ هذلولوی، هندسهٔ کلاین که در کل با گروه‌ها تعریف می‌شود (شاید برایتان مثال خوبی باشد که ابزارمان حتی از فضای برداری مجردتر و گروه‌ها هستند، دقیق‌تر باشیم، گروه‌های توپولوژیک)، هندسهٔ ریمان، هندسهٔ کارتان، هندسهٔ فینسلر، ... . اما از نحوهٔ پرسشتان مشخص است که تنها به هندسه‌های اقلیدسی کار دارید. اگر مثال در دنیای واقع از هندسهٔ اقلیدسی با بعد بیشتر از ۳ نیاز دارید تنها کافیست یک مثال از یک فضای برداری با بعد بیش از ۳ و میدان حقیقی یا مختلط بردارید. هر مثالی برای این فضاهای برداری یک مثال برای هندسه‌های اقلیدسی نیز است. در واقع هندسهٔ اقلیدسی همان فضای برداری مجهز به متریک معمولی است.

Answer 2

فضای ماتریس های دو در دو از بعد چهار است. فضای ماتریس های یک در پنج از بعد پنج است. نه تنها محدودیتی در اندازه بعد نداریم بلکه حتی فضاهای برداری بی نهایت بعدی داریم مثل فضای دنباله های همگرا به صفر که آن را با $c_0$ نمایش می دهند. اصولا جبر خطی به فضاهای برداری متناهی البعد می پردازد و آنالیز تابعی که شاخه ای از ریاضیات در سطح کارشناسی ارشد است به فضاهای برداری بینهایت بعدی می پردازد.