برای اینکه بگوئیم شرط یا فرض الف برای قضیه یا حکمی که ثابت کردهایم لازم است باید نمونهای بیاوریم که این شرط برقرار نیست و حکم برقرار نشدهاست در صورتیکه چنین نمونهای وجود نداشته باشد این فکر به ذهن میآید که خب چرا باید شرط الف را در صورت قضیه بگذاریم زمانیکه بدون آن نیز حکم برقرار است؟ بنابراین این نوع پرسش یکی از پرسشهای رایجی هستند که در هنگام رویارویی با یک قضیهٔ جدید باید از خودتان بپرسید. برخی قضیههای جدید که توسیع و تعمیم قضیههای دیگری هستند حاصل پرسیدن اینگونه پرسشها بودهاند. یعنی هیچ نمونهای نیافتند که لازم بودن شرط را نشان دهد و سپس به دنبال اثبات قضیه در حالت کلیتر بدون فرض کردن این شرط اضافه رفتهاند.
به هر حال برای این پرسش دو فرض هست و کاری که باید بکنیم این است که برای هر یک از این فرضها دستکم یک نمونه بیاوریم که لازم بودنش را نشان دهد. هر دو نمونهای که در اینجا میخواهیم بیاوریم نمونههای مشهوری هستند به این معنا که تقریبا تمام افرادی که با این موضوعها سر و کار دارند آنرا شنیدهاند.
پیش از اینکه ادامه دهیم اشاره میکنیم که یک گروه
$G$
روی یک میدان
$F$
نمایش به طور کامل کاهشپذیر دارد اگر
$FG$
مدول متناظر به این نمایش به طور کامل کاهشپذیر باشد. یک مدول نیز به طور کامل کاهشپذیر است هر گاه بتوان آنرا به شکل جمع مستقیمی از زیرمدولهایش نوشت.
برای بخش نخست، یعنی لازم بودن شرط نشمردهشدن مرتبهٔ گروه بوسیلهٔ مشخصهٔ میدان از تعریف بهطور کامل کاهشپذیر بودن استفاده میکنیم.
راحتترین حالت این است که هر دوی گروه و میدان را
$\mathbb{Z}_2$
برداریم. این مجموعه به همراه جمع و ضرب ردههای باقیماندهای به پیمانهٔ ۲ تشکیل هم گروه و هم میدان میدهد. مرتبه و مشخصهٔ آن هر دو ۲ هستند که آشکارا عدد دو، عدد دو را میشمارد. برای اینکه اعضای گروه و میدانمان را با هم اشتباه نگیریم، اعضای
$\mathbb{Z}_2$
را زمانیکه به چشم گروه میبینیم با
$e,a$
نمایش میدهیم و زمانیکه به چشم میدان میبینیم با ۰ و ۱ نمایش میدهیم. نخستین کاری که باید بکنیم این است که حلقهٔ
$FG$
را تشکیل بدهیم. این حلقه یک مجموعه از جمعهای نمادین است یعنی
$$\{r_ee+r_aa|r_e,r_a\in \{0,1\}\}$$
توجه کنید که حق نداریم بیاییم و ۰ و ۱ را با
$e,a$
ضرب کنیم و ساده کنیم بلکه دقیقا به شکل نمادین زیر اعضا قرار میگیرند و هیچ گونه سادهسازیای در کار نیست
$$FG=\{0e+0a,1e+0a,0e+1a,1e+1a\}$$
برخی از قرارداد نمادگذاری زیر برای کمترنویسی در این نمونه کمک میگیرند ولی اگر برایتان ابهام میسازد و تصور سادهشدن به ذهنتان میآید از این سادهسازی استفاده نکنید و اعضای
$FG$
را کامل بنویسید.
$$0:=0e+0a,e:=1e+0a,a:=0e+1a,a+e:=1e+1a$$
هر
$FG$
مدول متناظر به یک
$F$
نمایش از
$G$
است و حکم قضیه میگفت که هر
$F$
نمایش، به طور کامل کاهشپذیر است پس اگر یک
$F$
نمایش که به طور کامل کاهشپذیر نباشد نیز بیابیم کار تمام است. در واقع همارز با این میشود که یک
$FG$
مدول بیابیم که جمعمستقیم زیرمدولهایش نشود. سادهترین
$R$
مدول برای یک حلقه دلخواه، خودش است. پس بیاییم از خود
$FG$
به عنوان
$FG$
مدول شروع به بررسی کنیم. یک حلقه به عنوان مدول روی خودش با جمع حلقهای و ضرب حلقهایاش به عنوان جمع مدولی و ضرب اسکالری مدولی در نظر گرفته میشود (البته برای برخی حلقهها ساختارهای بیشتری با در نظر گرفتن جمع و ضرب متفاوت میتوان ساخت ولی ما در اینجا با خود ساختار بدیهی نیز کار را به انجام خواهیم رساند). چون چهار عنصر بیشتر ندارد بگذارید جدول اعمالش را کامل بیاوریم.
حواستان باشد که منظور از نمادهای داخل جدول چه است و جمع و ضرب
$FG$
چگونه تعریف میشود و باز تکرار میکنم که سادهسازیهای اضافی و نادرست انجام ندهید. برای اینکه ببینید چگونه این جمع و ضربها صورت گرفتهاند از جمع و ضرب هر کدام یک نمونه در زیر میآوریم. بعلاوه حواستان باشد که عمل گروه
$\mathbb{Z}_2$
را عمل جمع گرفتهایم بنابراین با اینکه ممکن است برخیتان فکر کنید
aa
باید ضرب ردهٔ یک در ردهٔ یک و بنابراین حاصل ردهٔ یک شود، این به معنای جمع ردهٔ یک با ردهٔ یک و در نتیجه حاصل ردهٔ صفر میشود یعنی
e.
$$\begin{array}{l}0+e=(0e+0a)+(1e+0a)=(0+1)e+(0+0)a=1e+0a=e\\a×a=(0e+1a)(0e+1a)=00ee+01ea+10ae+11aa=0e+0a+0a+1e=1e+0a=e\end{array} $$
اگر توجه کنید تنها زیرمدول (ایدهآل) نابدیهی
$FG$
برابر با زیرمدول تولید شده بوسیلهٔ
$a+e$
است که دو عضوی
$\{0,a+e\}$
میشود. این تنها زیرمدول نابدیهی است که جمعش با خودش خودش میشود. البته در جمع مستقیم اشتراک زیرمدولها باید تکعضوی صفر باشد پس حتی به اینکه جمعش با خودش، کل
$FG$
نمیشود نیز نیاز نیست اشاره کنیم. در نتیجه به هیچ وجه نمیشود این مدول را به شکل جمع مستقیمی از زیرمدولهایش نوشت و این اثبات را تمام میکند.
اکنون به سراغ شرط دوم قضیه یعنی متناهی بودن گروهمان برویم. سادهترین گروه نامتناهی که به ذهن میرسد اعداد صحیح با عمل جمع است. میدان را نیز میدان اعداد مختلط (یا حقیقی یا گویا) بردارید. همیشه نیاز نیست از تعریف مستقیما استفاده کنید. اگر به پاراگراف دوم صفحهٔ ۲۱۶ کتاب نگاه کنید یک شرط همارز برای بهطور کامل کاهشپذیر بودن یک نمایش دادهاست و آن قطریبلوکی شدن ماتریس نمایش است!
بیایید مدولمان را فضای برداری
$\mathbb{C}^2$
برداریم. نمایشی را در نظر بگیرید که ماتریسش به شکل زیر شود.
$$\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}$$
اگر قرار باشد نمایشمان به طور کامل کاهشپذیر باشد باید بتوان زیرماتریسهای مربعی اکیدا کوچکتر یافت که ماتریس قطری-بلوکی تشکلیشده با آنها متشابه به ماتریس بالا شود. چون ماتریسمان دو در دو است پس تنها حالت ممکن برای ماتریسهای مربعی اکیدا کوچکتر یک در یک میشود. یک ماتریس دو در دو که به غیر از دو ماتریس یک در یک در قطرش، در بقیهٔ جاهها صفر دارد در واقع یک ماتریس قطری نیز هست. پس مسأله تبدیل میشود به اینکه آیا ماتریس قطریای متشابه به ماتریس نمایشمان داریم؟ این دقیقا همان اصطلاح «قطریشدنی بودن» است! از جبرخطی به یاد آورید که چگونه قطریشدنی بودن را بررسی میکردید. اینجا مبحث قطریشدنی و مثلثیشدنی و قطریبلوکیشدنی را درس نمیدهیم و پیشفرض فردی که نظریهٔ نمایش میخواند باید جبرخطی را بداند. چیزی که در ماتریس نمایشمان داریم این است که یک ماتریس بالامثلثی است پس مقدار ویژههایش عنصرهای روی قطر اصلیاش هستند که تنها یک عدد یعنی یک است. از آنجا که چندجملهای مشخصهٔ یک ماتریس به شکل ضرب
$x-\lambda$
ها که
$\lambda$
مقدار ویژهٔ ماتریس است میباشد و این عاملها به تعداد تکرار مقدار ویژه در ضرب ظاهر میشوند پس چندجملهای مشخصهٔ ماتریس نمایشمان برابر است با
$(x-1)^2$
قضیهای داشتیم که یک ماتریس روی اعداد مختلط قطری شدنی است اگر و تنها اگر چندجملهای کمین آن چندجملهایای کاهشیافته باشد یعنی توان عاملهای خطیاش در تجزیهاش برابر یک باشد. از طرفی چندجملهای کمین نیز چندجملهای مشخصه را میشمارد پس پرسش اینکه «آیا ماتریس نمایش ما قطریشدنی است یا خیر؟» همارز میشود با اینکه «آیا چندجملهای کمین آن برابر با
$x-1$
است یا خیر؟» و برای چک کردن آن کافیست به جای متغیر
$x$
ماتریمان را قرار دهیم و ببینیم آیا صفر میشود یا خیر.
$$\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 &1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}$$
که ماتریس صفر نیست. و این اثبات را تمام میکند.
