تبدیل فوریه کسینوسی توابع $e^{-a x^{2} }$و $ \frac{1}{1+ x^2 }$

Question

تبدیل فوریه کسینوسی توابع زیر رابدست آورید؟

1 ) $ e^{-a x^{2} } $

2 ) $ \frac{1}{1+ x^2 } $

Answer 1

منظور از سری فوریه کسینوسی یک تابع در بازه ی $ 0 < x < \pi $ مانند $f $ نوشتن آن تابع به فرم $ \frac{ a_{0} }{2} + \sum_{n=1}^ \infty a_{n} cos(nx) $ است که با انتگرال گیری از طرفین، برای ضرایب رابطه ی زیر را خواهیم داشت: $$ a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)cos(nx) $$

وبطور مشابه سری سینوسی تعریف می شود در واقع اگر تبدیل فوریه ی تابع رو پیدا کنیم قسمت حقیقی در نقاط صحیح همان ضرایب سری کسینوسی فوریه می شود. $$ \widehat{f} (t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x ) e^{itx} dx $$ برای تابع اول باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم. $$ a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} e^{-a x^{2} } cos(nx) $$ که با بدست آوردن تبدیل فوریه ی آن داریم: $ a_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{a} } e^{- \frac{ n^{2} }{4a} } $

برای تابع دوم ضرایب $ a_{n} $ برابر است با $ \frac{\pi}{2} e^{-n} $ که آن هم از تبدیل فوریه بدست می آید .