تبدیل فوریه کسینوسی توابع $e^{-a x^{2} }$و $\frac{1}{1+ x^2 }$

Question

تبدیل فوریه کسینوسی توابع زیر رابدست آورید؟

1 ) $e^{-a x^{2} }$

2 ) $\frac{1}{1+ x^2 }$

Answer 1

منظور از سری فوریه کسینوسی یک تابع در بازه ی $0 < x < \pi$ مانند $f$ نوشتن آن تابع به فرم $\frac{ a_{0} }{2} + \sum_{n=1}^ \infty a_{n} cos(nx)$ است که با انتگرال گیری از طرفین، برای ضرایب رابطه ی زیر را خواهیم داشت:

$$a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)cos(nx)$$

وبطور مشابه سری سینوسی تعریف می شود در واقع اگر تبدیل فوریه ی تابع رو پیدا کنیم قسمت حقیقی در نقاط صحیح همان ضرایب سری کسینوسی فوریه می شود.

$$\widehat{f} (t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x ) e^{itx} dx$$ برای تابع اول باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم. $$a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} e^{-a x^{2} } cos(nx)$$ که با بدست آوردن تبدیل فوریه ی آن داریم: $a_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{a} } e^{- \frac{ n^{2} }{4a} }$

برای تابع دوم ضرایب $a_{n}$ برابر است با $\frac{\pi}{2} e^{-n}$ که آن هم از تبدیل فوریه بدست می آید .