منظور از سری فوریه کسینوسی یک تابع در بازه ی $ 0 < x < \pi $ مانند $f $ نوشتن آن تابع به فرم $ \frac{ a_{0} }{2} + \sum_{n=1}^ \infty a_{n} cos(nx) $ است که با انتگرال گیری از طرفین، برای ضرایب رابطه ی زیر را خواهیم داشت:
$$ a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)cos(nx) $$
وبطور مشابه سری سینوسی تعریف می شود در واقع اگر تبدیل فوریه ی تابع رو پیدا کنیم قسمت حقیقی در نقاط صحیح همان ضرایب سری کسینوسی فوریه می شود.
$$ \widehat{f} (t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x ) e^{itx} dx $$
برای تابع اول باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم.
$$ a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} e^{-a x^{2} } cos(nx) $$
که با بدست آوردن تبدیل فوریه ی آن داریم:
$ a_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{a} } e^{- \frac{ n^{2} }{4a} } $
برای تابع دوم ضرایب $ a_{n} $ برابر است با $ \frac{\pi}{2} e^{-n} $ که آن هم از تبدیل فوریه بدست می آید .
