قضیه ای که باید دیده باشید چه در ریاضی عمومی و چه در آنالیز ریاضی میگه:
اگر تابع $f:[a, b]\to \mathbb R$ در نقطه ی درونی $c$ مشتق پذیر بوده و دارای اکسترمم نسبی باشد آنگاه $f'(c)=0$ .
بنابراین برای یافتن نقاط اکسترمم نسبی یک تابع کافی است نقاطی را بیابیم که در آنها مشتق وجود ندارد یا مشتق در آنجا صفر باشد $f'(x)=0$ (به چنین نقاطی، نقاط بحرانی گوییم).
پس چنانچه نقطه ای بحرانی چون $c$ داشتیم در اینصورت ممکن است یک نقطه اکسترمم نسبی باشد. در این حالت برای تشخیص مینیمم یا ماکسیمم نسبی بودن و یا اصلا اکسترمم نسبی نبودن می توانید از آزمونهای مشتق اول یا دوم استفاده کنید.
آزمون مشتق اول می گوید چنانچه مشتق تابع پیوسته باشد و به جز احتمالا در نقطه درونی $c$ مشتقپذیر باشد و مشتق در بازه ای حول این نقطه تغییر علامت دهد در اینصورت این نقطه مینیمم نسبی است اگر در سمت چپ این نقطه علامت منفی داشته باشد(یعنی تابع نزولی باشد) و در سمت راست آن علامت مثبت داشته باشد(یعنی تابع صعودی باشد) و صعودی است اگر در سمت چپ علامت مثبت و در سمت راست علامت منفی داشته باشد. و اگر تغییر علامت ندهد اکسترمم نسبی نیست.
آزمون مشتق دوم می گوید چنانچه تابع $f$ مشتق دوم پیوسته داشته باشد و $f'(c)=0$ در اینصورت چنانچه $f''(c)>0$ نقطه مینیمم نسبی داریم و چنانچه $f''(c)< 0$ نقطه ماکسیمم نسبی داریم.
البته در حالت کلی آزمون مشتق $n$ ام را هم داریم که می وانید استفاده کنید.
