خوب می‌شد اگر تعریف unipotent را نیز می‌نوشتید چون ممکن است فردی با خودتوان اشتباه بگیرد.
تعریف: ماتریس $A$ را unipotent می‌نامیم هرگاه $A-I$ (که $I$ ماتریس همانی است) پوچ‌توان شود.
با این وصف، پرسش شما بسیار ساده حل می‌شود. تنها کافیست تعریف را بنویسید و ادامه دهید. اینکه $A-I$ پوچ‌توان شود یعنی عدد طبیعی $n$ای یافت شود که $(A-I)^n$ ماتریس صفر شود. اکنون از دو طرف دترمینان بگیرید (اینکه چرا دترمینان بگیریم، باید سریع به ذهنتان بیاید، چون دنبال چیزی مرتبط با چندجمله‌ای مشخصه هستید و $A-I$ شکل بسیار آشنایی دارد همه چیز را روشن می‌کند). پس داریم:
$$\begin{array}{lll}\det((A-I)^n) & =\ & \det(O)\\ (\det(A-I))^n & = & 0\\ \det(A-I) & = & 0\end{array}$$
البته توجه کنید که درایه‌های ماتریسمان را از یک میدان (یا کلی‌تر یک حلقهٔ کاهش‌یافته) گرفته‌ایم که دترمینان آن نیز عضوی از همان می‌شود و در یک میدان (حلقهٔ کاهش‌یافته) تنها عنصر پوچ‌توان خود صفر است و توانستیم از اینکه اسکالری به توانی صفر شده‌است نتیجه بگیریم خودش نیز صفر بوده‌است.
به یاد آورید که چندجمله‌ای مشخصه برابر بود با $\det(A-xI)$ و ریشه‌هایش مقدار ویژه نامیده می‌شدند. از اینکه $\det(A-I)$ صفر شده‌است نتیجه می‌گیریم که یک مقدار ویژه $x=1$ است. اما اکنون باید ثابت کنیم که مقدار ویژهٔ دیگری نمی‌توانیم داشته‌باشیم.
بردار ویژه را به شکل دیگری نیز تعریف می‌کردیم که کاملا هم‌ارز ریشهٔ چندجمله‌ای مشخصه بودن می‌شد. توجه کنید که دترمینان یک ماتریس صفر می‌بود هرگاه دستگاه همگنش دارای پاسخ نابدیهی می‌بود پس صفر شدن دترمینان $A-xI$ هم‌ارز با این است که معادلهٔ $(A-xI)v=0$ یا به عبارت دیگر معادلهٔ $Av=xv$ دارای پاسخ $v\neq 0$ نیز باشد.
بیاییم فرض کنیم $x$ یک مقدار ویژهٔ دلخواه از $A$ باشد پس باید بردار ناصفری مانند $v$ وجود داشته‌باشد که
$Av=xv$. اکنون بیاییم $(A-I)$ را در سمت چپ بسازیم (چون می‌خواهیم از پوچ‌توان بودنش استفاده ببریم پس باید بسازیمش و سپس به توانی که پوچش کند برسانیم).
$$(A-I)v=Av-Iv=xv-v=(x-1)v$$
اکنون اگر $n$ عدد طبیعی‌ای باشد که به آن توان رساندن $A-I$، $A-I$ را پوچ می‌کند، داریم:
$$\begin{array}{rll} (A-I)^nv & = & (A-I)^{n-1}\big((A-I)v\big)\\
& = & (A-I)^{n-1}((x-1)v)\\
& = & (x-1)(A-I)^{n-1}v\\
& = & (x-1)^nv\\
Ov & = & (x-1)^nv\\
0 & = & (x-1)^nv
\end{array}$$
بین سطر دوم و سوم از یک استقرای ریاضی ساده استفاده کرده‌ایم. ولی توجه کنید که $v$ برداری ناصفر است پس دست‌کم یک درایهٔ ناصفر دارد. ضرب اسکالری یک بردار برابر بود با ضرب اسکالر در تک‌تک درایه‌هایش پس از اینکه حاصل صفر شده‌است نتیجه می‌شود که ضرب $(x-1)^n$ در آن درایهٔ ناصفر نیز صفر شده‌است ولی میدان‌ها دامنهٔ صحیح نیز هستند پس باید $(x-1)^n$ خودش نیز صفر می‌بوده‌باشد. اما میدان حلقهٔ کاهش‌یافته نیز هست پس باید $x-1$ خودش صفر بوده‌باشد. در نتیجه هر مقدار ویژهٔ دلخواه $A$ مقدار یک است.
توجه: بدون اینکه قسمت نخست پاسخ را نیز انجام بدهیم، قسمت دوم پرسش را کامل حل و اثبات می‌کرد. تنها علتی که گذاشتم بماند این است که ببینید که نوشتن و دنبال کردن افکارتان هیچ وقت بد نیست و گاهی ممکن است نصف پرسش را حل کنید ولی نوشتنش بهتر از خالی گذاشتن است به ویژه آنهایی که مسابقات شرکت می‌کنند. بعلاوه همان‌گونه که در ذهنم فکر می‌کردم نوشته را گذاشتم بماند که ببینید پاسخ به شکل یک جواب حفظ شده در ذهن یک ریاضی‌کار نیست بلکه مانند هر مسألهٔ عادی روزانهٔ دیگر، یک پرسش ریاضی را نیز باید فکر کرد و پاسخ را ساخت.
اکنون سمت مخالف حکم. فرض کنید تمام مقدارهای ویژهٔ ماتریس $A$ یک باشند. پس باید چندجمله‌ای مشخصه به شکل $(x-1)^m$ (که $m$ بعد ماتریس مربعی‌مان است) باشد. چون چندجمله‌ای مشخصه به عوامل خطی تجزیه‌شده‌است پس ماتریسمان مثلثی شدنی است. پس ماتریس وارون‌پذیر $P$ و ماتریس بالامثلثی $B$ ای وجود دارند که $B=PAP^{-1}$. اکنون $B-I$ را بررسی کنید.
$$B-I=PAP^{-1}-PIP^{-1}=P(A-I)P^{-1}$$
همیشه به یاد داشته‌باشید که یک ماتریس مثلثی با درایه‌های صفر بر روی قطر اصلی‌اش پوچ‌توان است و کمترین توانی که برای پوچ شدن نیاز دارد حداکثر بعدش است. وقتی یک ماتریسی را مثلثی می‌کردیم درایه‌های روی قطر شکل مثلثی‌اش مقادیر ویژه‌اش می‌بودند (علتش آشکار است چون متشابه هستند و مقدار ویژه‌های یک ماتریس مثلثی، مقدارهای روی قطر اصلی‌اش هستند). پس همهٔ درایه‌های روی قطر اصلی $B$ یک هستند و پس از کسر کردن ماتریس همانی از آن یک ماتریس مثلثی با درایه‌های صفر بر روی قطر اصلی خواهیم داشت. فرض کنید $n$ عدد طبیعی‌ای باشد که $B-I$ را پوچ کند. پس
$$O=(B-I)^n=(P(A-I)P^{-1})^n=P(A-I)P^{-1}P(A-I)P^{-1}\cdots P(A-I)P^{-1}=P(A-I)^nP^{-1}$$
دو طرف را از چپ در $P^{-1}$ و از راست در $P$ ضرب کنیم داریم:
$$O=P^{-1}OP=P^{-1}P(A-I)^nP^{-1}P=(A-I)^n$$
پس ثابت کردیم که $A$ یک ماتریس unipotent می‌شود.
امیدوارم لذت برده‌باشید.
