رابطه بین مجانب افقی و حد مشتق در بینهایت

Question

آیا جمله زیر درست است؟ اگر درست است چگونه اثبات می شود؟

هر گاه تابعی مجانب افقی داشته باشد، حد مشتق آن در بی نهایت صفر است.

Answer 1

در حالت کلی خیر. به عنوان مثال تابع $f(x)=\frac{\sin x^2}{x}$ را در نظر بگیرید در اینصورت $$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x^2}{x}=0$$ در حالیکه $$\lim_{x\to \infty}(\frac{\sin x^2}{x})'=\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2\cos x^2-\sin x^2}{x^2}=\lim_{x\to \infty}\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}$$ که وجود ندارد چون $\lim_{x\to \infty}\cos x^2$ موجود نیست.

با این وجود چنانچه فرض کنیم $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$ و $\lim_{x\to \infty}f'(x)$ موجود باشد آنگاه بنابر این مساله چون $\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)$ موجود است پس $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$ .