مشتق تابع $\frac{1-\cos x}{\sin^2x}$ را در $x=0$ بوسیلهٔ حد محاسبه کنید.

Question

مشتق تابع زیر را در $x=0$ بوسیلهٔ حد محاسبه کنید.

\begin{cases} \frac{1-\cos x}{\sin^2x} &;\;x\neq 0\\ \frac{1}{2} &;\;x=0 \end{cases}

Answer 1

فقط کافی است تعریف مشتق را بنویسید:

$$\require{cancel}\begin{align}f'(0)&=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1-\cos x}{\sin^2x}-\frac 12}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2(1-\cos x)-\sin ^2x}{2x\sin^2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2(2\sin^2\frac x2)-(2\sin \frac x2\cos \frac x2)^2}{2x\sin^2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{4\sin^2\frac x2(1-\cos^2\frac x2)}{2x(2\sin \frac x2\cos \frac x2)^2}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{4\cancel{\sin^2\frac x2}(\sin^2\frac x2)}{8x\cancel{\sin^2\frac x2}\cos^2\frac x2}\\ &=\frac 14\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac x2}{\frac x2}\lim_{x\to 0}\sin \frac x2\lim_{x\to 0}\frac1{\cos^2\frac x2}\\ &=\frac 14\times 1\times 0\times 1=0\end{align}$$

Comments

fardina@
واقعا ممنونم از کمکتون

---

@Drrd به جای نوشتن کتبی تشکر بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست پرسش کلیک کنید تا امتیاز داده شود. و می‌توانید از زدن تیک سمت راست برای تأیید پاسخ نیز استفاده کنید.

Answer 2

با ساده سازی ضابطه کار بسیار آسان تر می شود. $$ \frac{1-cos}{sin^2x} = \frac{1-cosx}{1-cos^2x} = \frac{1}{1+cosx} $$ $$ f' (x)= \frac{sinx}{(1+cosx)^2} $$ $$ f' (0)=0$$