سلام
حقیر از کاربرد مشتق (خاصیت اکسترمم) استفاده می کنم و ماکزیمم و مینیمم عبارت A را محاسبه میکنم:
$$A(x)=cos^{2}(x)-5sin(x) $$
دامنه تابع مجموعه ی اعداد حقیقی می باشد.
از تابع $A(x)$ مشتق می گیریم:
$$ A'(x)=-2sin(x)cos(x)-5cos(x) $$
مشتق را برابر صفر قرار می دهیم:
$$ A'(x)=0 \Rightarrow A'(x)=-2sin(x)cos(x)-5cos(x)=0 $$
معادله را حل می کنیم (از عبارت $-cos(x)$ فاکتور می گیریم:
$$ -cos(x)(2sin(x)+5)=0 $$
وقتی حاصل ضرب چند جمله جبری صفر شود، حداقل حاصل یکی از آن ها صفر است:
$ -cos(x)=0 $ یا $2sin(x)+5=0$
باید هر دو معادله را حل کنیم و ریشه های معادله ها را به دست بیاوریم:
$$ 2sin(x)+5=0 \Rightarrow sin(x)=- \frac{5}{2} $$
با توجه به اینکه $ -1 \leq sin(x) \leq 1 $ پس معادله ی بالا ریشه ندارد.
حال معادله ی دوم را حل می کنیم:
$$-cos(x)=0 \Rightarrow x \in \lbrace k \pi \mid k \in Z \rbrace $$
حال که ریشه های معادله را به دست آوردیم، باید معادله را تعیین علامت کنیم؛ ابتدا عبارت
$$ 2sin(x)+5 $$
را تعیین علامت می کنیم:
$$ -1 \leq sin(x) \leq 1 $$
$$ \Rightarrow -2\leq 2sin(x) \leq 2$$
$$ \Rightarrow 3 \leq 2sin(x)+5 \leq 7 $$
$$ \Rightarrow 2sin(x)+5>0 $$
پس یکی از جملات همیشه مثبت است. حال جمله $ -cos(x) $ را تعیین علامت می کنیم:
$$ -1 \leq cos(x) \leq 1 $$
$$ \Rightarrow -1 \leq -cos(x) \leq 1 $$
با توجه به جدول تعیین علامت و اینکه تابع در نقاط $ x \in \lbrace k \pi \mid k \in Z \rbrace $ دارای اکسترمم نسبی است؛ مقدار $ x=0 $ و $ x=\pi $ را در تابع
$$ A(x)=cos^{2}(x)-5sin(x) $$
مقدارگذاری می کنیم:
$$ x=0 \Rightarrow A(x)=-5 $$
$$ x=\pi \Rightarrow A(x)=5 $$
پس مقدار ماکزیمم تابع برابر $5$ و مقدار مینیمم تابع برابر $-5$ می باشد.
