Question

ماکزیمم و مینیمم این عبارت را حساب کنید.$A= cos^{2}x-5sinx$

Answer 1

$cos^2x-5sinx=-(sin^2x+5sinx-1)=-((sinx+ \frac{5}{2} )^2- \frac{29}{4} )$

چون $-(sinx+ \frac{5}{2} )^2 < 0$

پس کمترین وبیشترین مقدار $A$ وقتی بدست میاد که $sinx$ بیشترین و کمترین مقدار خود یعنی 1 و -1 باشه باجایگذاری مقدار -5 و 5 بدست میاد .

Answer 2

سلام حقیر از کاربرد مشتق (خاصیت اکسترمم) استفاده می کنم و ماکزیمم و مینیمم عبارت A را محاسبه میکنم:

$$A(x)=cos^{2}(x)-5sin(x)$$

دامنه تابع مجموعه ی اعداد حقیقی می باشد.

از تابع $A(x)$ مشتق می گیریم:

$$A'(x)=-2sin(x)cos(x)-5cos(x)$$

مشتق را برابر صفر قرار می دهیم:

$$A'(x)=0 \Rightarrow A'(x)=-2sin(x)cos(x)-5cos(x)=0$$

معادله را حل می کنیم (از عبارت $-cos(x)$ فاکتور می گیریم:

$$-cos(x)(2sin(x)+5)=0$$

وقتی حاصل ضرب چند جمله جبری صفر شود، حداقل حاصل یکی از آن ها صفر است:

$-cos(x)=0$ یا $2sin(x)+5=0$

باید هر دو معادله را حل کنیم و ریشه های معادله ها را به دست بیاوریم:

$$2sin(x)+5=0 \Rightarrow sin(x)=- \frac{5}{2}$$

با توجه به اینکه $-1 \leq sin(x) \leq 1$ پس معادله ی بالا ریشه ندارد.

حال معادله ی دوم را حل می کنیم:

$$-cos(x)=0 \Rightarrow x \in \lbrace k \pi \mid k \in Z \rbrace$$

حال که ریشه های معادله را به دست آوردیم، باید معادله را تعیین علامت کنیم؛ ابتدا عبارت

$$2sin(x)+5$$

را تعیین علامت می کنیم:

$$-1 \leq sin(x) \leq 1$$ $$\Rightarrow -2\leq 2sin(x) \leq 2$$ $$\Rightarrow 3 \leq 2sin(x)+5 \leq 7$$ $$\Rightarrow 2sin(x)+5>0$$

پس یکی از جملات همیشه مثبت است. حال جمله $-cos(x)$ را تعیین علامت می کنیم:

$$-1 \leq cos(x) \leq 1$$ $$\Rightarrow -1 \leq -cos(x) \leq 1$$

با توجه به جدول تعیین علامت و اینکه تابع در نقاط $x \in \lbrace k \pi \mid k \in Z \rbrace$ دارای اکسترمم نسبی است؛ مقدار $x=0$ و $x=\pi$ را در تابع

$$A(x)=cos^{2}(x)-5sin(x)$$

مقدارگذاری می کنیم:

$$x=0 \Rightarrow A(x)=-5$$ $$x=\pi \Rightarrow A(x)=5$$

پس مقدار ماکزیمم تابع برابر $5$ و مقدار مینیمم تابع برابر $-5$ می باشد.

Answer 3

یک روش تستی و کنکوری برای عبارت های مثلثاتی شامل sin یا cos که قابل تبدیل به یک معادله شبه درجه ۲ هستند وجود دارد.

$$A=cos^2x-5sinx=(1-sin^2x)-5sinx=-sin^2x-5sinx+1$$ سپس سه عدد 1 و 1- و $\frac {-b}{2a}$ را به جای sinx جایگذاری می کنیم. $$A (1)=-5$$ $$A (-1)=5$$ $$A (\frac {-(-5)}{2 (-1)})=A (-2.5)=!$$ قابل جایگذاری نیست چون sin هر عبارتی بین یک و منفی یک است. از این سه عدد بزرگترین آنها max و کوچکترین آنها min است. یعنی:

Max (A) = 5

Min (A) = -5

البته روش کلی استفاده از مشتق است.