ثابت کنید $c$ موجود است که $f(c)-cf'(c)=\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$

Question

فرض کنید $a>0$ و $f:[a, b]\to \mathbb R$ پیوسته و $f:(a, b)\to \mathbb R$ مشتق پذیر باشد. ثابت کنید $c\in (a, b)$ موجود است که $$f(c)-cf'(c)=\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$$

Answer 1

تنها کافیه که تو قضیه مقدار میانگین کوشی قرار بدیم $g(x)= \frac{f(x)}{x} $ و $h(x)= \frac{1}{x} $

---

$g'(c)[h(b)-h(a)]=h'(c)[g(b)-g(a)]$

جایگذاری مقادیر فهوالمطلوب.

Comments

@kazomano
مرسی روش جالبی بود.

Answer 2

کافی است تابع $g:[\frac 1b, \frac 1a]\to \mathbb R$ را با ضابطه $g(x)=xf(\frac 1x)$ در نظر گرفته و قضیه مقدار میانگین را برای آن بکار بریم.