فرض میکنیم 2 عدد حقیقی مانند $ x_{2} $ و $ x_{1} $ وجود داشته باشد که $f^{-1}( x_{1} ) \leq f^{-1}( x_{2} )$ و $ x_{2} < x_{1} $ چون تابع $f$ پوشا و اکیدا صعودی است پس 2 عدد حقیقی $ y_{1} > y_{2} $ وجود دارد که $f( y_{2} )= x_{2} $ و $f( y_{1} )= x_{1} $ باشد . با چایگذاری خواهیم داشت :
$$f^{-1}(f( y_{1} ))= y_{1} \leq f^{-1}(f( y_{2} ))= y_{2} $$
که با $ y_{1} > y_{2} $ در تناقض است پس تابع $f^{-1}$ اکیدا صعودی است .
