بدون کاستن از کلیت میتوانید فرض کنید مرکز دایرهای که این نیمدایره از آن برداشتهشدهاست مبدأ مختصات است و میتوانید فرض کنید که نیمدایرهتان نیمدایرهٔ بالایی است. زیرا در غیر اینصورت تنها یک انتقال و یک دوران نیاز دارید که نسبت به مرکز جرم خوشرفتار هستند یعنی اگر جسمتان را انتقال و دوران بدهید، آنگاه مرکز جرم آن نیز تحت همان انتقال و دوران به مرکز جرم جسم جدید منتقل میشود.
شعاع دایره را $r$ بگیرید. پس نیمدایرهٔ ما کمان شروع شده از نقطهٔ $(r,0)$ به نقطهٔ $(-r,0)$ و قطرمان پارهخط وصلکنندهٔ این دو نقطه است. توجه کنید که چون چگالی ثابت است مانند این است که هر نقطه سهم یکسانی در جرم دارد. چون پهنایی برای نقاط نیمذدایره و قطر در نظر نگرفته شدهاست پس این سهم برابر با حاصلتقسیم جرم بر محیط (درازای) شکل است. محیط شکل ما برابر با $\pi r+2r$ است. اکنون انتگرال وزندار مرتبط با محاسبهٔ مرکز جرم به هر نقطه وزنِ
$$\dfrac{\frac{m}{\pi r+2r}}{m}=\frac{1}{\pi r+2r}$$
را میدهد.
یافتن مرکز جرم مانند یافتن میانگین و امید است که تابع توزیع از سهم شرکتکننده در وزن بدست میآید. باید امید طول و عرض نقاط شکل را بیابیم.
نقاط روی پارهخط را به شکل $(x,0)$ که $x$ از $-r$ تا $r$ تغییر میکند پارامتری میکنیم و نقاط روی نیمدایره را به شکل $(x,\sqrt{r^2-x^2})$ که $x$ دوباره از $-r$ تا $r$ تغییر میکند پارامتری میکنیم.
$$\bar{x}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^rxdx+\int_{-r}^rxdx)=0$$
$$\bar{y}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^r0dx+\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx)=\dfrac{\frac{1}{2}\pi r^2}{\pi r+2r}=\frac{\pi}{2(\pi+2)}r$$
