به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
6,044 بازدید
در دانشگاه توسط AEbrahimiB (475 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

سیمی که دارای چگالی خطی ثابت است را به شکل نیم‌دایره ای همراه با قطرش در می‌آوریم. مرکز جرم آن را بیابید.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
انتخاب شده توسط AEbrahimiB
 
بهترین پاسخ

بدون کاستن از کلیت می‌توانید فرض کنید مرکز دایره‌ای که این نیم‌دایره از آن برداشته‌شده‌است مبدأ مختصات است و می‌توانید فرض کنید که نیم‌دایره‌تان نیم‌دایرهٔ بالایی است. زیرا در غیر اینصورت تنها یک انتقال و یک دوران نیاز دارید که نسبت به مرکز جرم خوش‌رفتار هستند یعنی اگر جسم‌تان را انتقال و دوران بدهید، آنگاه مرکز جرم آن نیز تحت همان انتقال و دوران به مرکز جرم جسم جدید منتقل می‌شود.

شعاع دایره را $r$ بگیرید. پس نیم‌دایرهٔ ما کمان شروع شده از نقطهٔ $(r,0)$ به نقطهٔ $(-r,0)$ و قطرمان پاره‌خط وصل‌کنندهٔ این دو نقطه است. توجه کنید که چون چگالی ثابت است مانند این است که هر نقطه سهم یکسانی در جرم دارد. چون پهنایی برای نقاط نیمذدایره و قطر در نظر نگرفته شده‌است پس این سهم برابر با حاصل‌تقسیم جرم بر محیط (درازای) شکل است. محیط شکل ما برابر با $\pi r+2r$ است. اکنون انتگرال وزن‌دار مرتبط با محاسبهٔ مرکز جرم به هر نقطه وزنِ $$\dfrac{\frac{m}{\pi r+2r}}{m}=\frac{1}{\pi r+2r}$$ را می‌دهد.

یافتن مرکز جرم مانند یافتن میانگین و امید است که تابع توزیع از سهم شرکت‌کننده در وزن بدست می‌آید. باید امید طول و عرض نقاط شکل را بیابیم.

نقاط روی پاره‌خط را به شکل $(x,0)$ که $x$ از $-r$ تا $r$ تغییر می‌کند پارامتری می‌کنیم و نقاط روی نیم‌دایره را به شکل $(x,\sqrt{r^2-x^2})$ که $x$ دوباره از $-r$ تا $r$ تغییر می‌کند پارامتری می‌کنیم.

$$\bar{x}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^rxdx+\int_{-r}^rxdx)=0$$ $$\bar{y}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^r0dx+\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx)=\dfrac{\frac{1}{2}\pi r^2}{\pi r+2r}=\frac{\pi}{2(\pi+2)}r$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...