دو جعبه با محتوای مهرههای سفید و سیاه داریم. دو مهره از آنها انتخاب میکنیم. احتمال اینکه این دو مهره همرنگ نباشند را بیابید.

Question

جعبهٔ $A$ شامل ۳ مهرهٔ سفید و ۲ مهرهٔ سیاه است و جعبهٔ $B$، ۶ مهرهٔ سفید و ۴ مهرهٔ سیاه دارد. دو مهره از این دو جعبه برمی‌داریم. احتمال اینکه دو مهرهٔ برداشته‌شده از یک رنگ نباشند چقدر است؟

هر جور حل می‌کنم نمی‌دانم چرا جواب بیشتر از ۱ می‌شود.

Answer 1

حالت های مدنظر شما از صورت سوال برداشت نمی شود اما اگر بخواهیم آن ها را نیز اضافه کنیم از احتمال شرطی و نمودار درختی استفاده می کنیم.

فضای نمونه ی انتخاب کیسه ها به صورت زیر است. $$S={ AA,AB,BA,BB}$$ احتمال این که هر دو مهره از کیسه $A $ باشند ${1\over4}$ و احتمال این که هر دو از کیسه $B $ باشند ${1\over4}$ و احتمال این که از کیسه های متفاوت باشند ${1\over2}$ است.

سپس سه احتمال زیر را حساب می کنیم.

۱. مهره های انتخاب شده از کیسه $A $ غیر همرنگ باشند: $$\frac {\binom 21 \binom31}{\binom52}=\frac6 {10} $$ ۲. مهره های انتخاب شده از کیسه $B $ غیر همرنگ باشند: $$\frac {\binom 61 \binom41}{\binom{10}2}=\frac8 {15} $$ ۳. مهره های انتخاب شده از دو کیسه متفاوت غیر همرنگ باشند: در پاسخ بالا محاسبه شد.

جواب: $$\frac14 × \frac6 {10}+\frac14 ×\frac8 {15}+\frac12 × \frac {12}{25} = \frac {157}{300} $$

Comments

ممنون من مشکل اولیه ام که نمیتونستم حل کنم همین فضای نمونه کیسه ها بود چون همیشه تو کتابهای دبیرستانی دو کیسه با احتمال 1/2 و... و فکر میکردم این تعداد کیسه ها است که روی تشکیل فضای نمونه تاثیر میگذاشت. تو نگاه اولیه به نظر میرسه این سوال با وقتی که همه مهرها رو یکجا تو یک کیسه بریزیم و بعد غیر همرنگ برداریم یکی میشه (چون ملاک غیر همرنگ بودنه و کدوم کیسه مهم نیست) اما جواب همه تو یک کیسه میشه 54/105 چرا فرق میکنه؟! چه توجیهی برای تفاوت این دو نگاه وجود دارد باز هم بینهایت ممنون

---

چون در این صورت ترتیب از بین می رود. برای مثال در فضای نمونه ای انتخاب کیسه ها دو پیشامد متفاوت برای انتخاب مهره ها از کیسه های متفاوت وجود دارد.

۱. مهره اول از کیسه $A $ و مهره دوم از کیسه $B $

۲. مهره اول از کیسه $B $ و مهره دوم از کیسه $A $

در صورتی که اگر مهره ها را مخلوط کنیم دیگر چنین ترتیبی وجود ندارد.

---

@AEbrahimiB
- حالت‌های مدنظر دقیقا همهٔ ۳ حالتی است که محاسبه‌کرده‌اید که از صورت پرسش قابل درک است.
- قسمتی که در پاسخ دیگری پست کرده‌اید باید برداشته‌شود و به این پاسخ‌تان افزوده‌شود چون قسمتی از این پاسخ است نه پاسخی دیگر.