همیشه کار با چندجملهایها سادهاست، تنها مشکل این است که با زیاد شدن جملهها و توانها و بینظمشدن ضرایب محاسبات میتواند سریع زیاد شود و به هیچ وجه با دست رسم کردن نمودارهایشان نیارزد. به هر حال چندجملهای دومتغیرهٔ شما که مجموعهریشههایش را میخواهید رسم کنید (خم تراز یا تصویر وارون صفر نیز قید میشوند ولی معمولا واریته variety که در انجمن ریاضی ایران چندگونا ترجمه کردهاست -خیلی ترجمهٔ جالبی نیست- نیز صدا میشود)، دارای دو ویژگی خاص است که میتوانید دو حقهٔ متداول را بر رویش پیاده کنید.
- نسبت به نیمساز ناحیهٔ یکم و سوم متقارن است. این را میتوانید از تقارن $x$ و $y$ دریابید. به عبارت دیگر اگر به جای $x$، $y$ و به جای $y$، $x$ بگذارید ضابطهتان تغییر نمیکند.
- چندجملهایتان را بر حسب یک متغیر نگاه کنید، یک معادلهٔ درجهٔ دو است.
ضابطه را به شکل یک معادلهٔ درجهٔ دو بر حسب $y$ بنویسید.
$$(x)y^2+(x^2)y-1=0$$
دلتا را تشکیل دهید
$$\Delta=x^4+4x=x(x^3+4)$$
دو ریشه دارد، یکی صفر و یکی منفی ریشهٔ سوم چهار. اگر آن را تأیین علامت کنید قبل از منفی ریشهٔ سوم چهار و بعد از صفر مثبت است یعنی خمتان در راستای خط عمودی آن مقدار $x$، دو نقطه دارد. در منفی ریشهٔ سوم چهار وقتی جایگذاری میکنید یک نقطه بیشتر ندارید که عرض آن ریشهٔ سوم چهار، تقسیم بر دو است. در صفر وقتی جایگذاری میکنید تناقض میرسید پس نقطهای روی محور ایگرگها ندارید بلکه باید رفتار حدیای وجود داشته باشد و تنها به یک سمت مثبت بینهایت یا منفی بینهایت چون دلتا صفر است. در بین صفر و منفی ریشهٔ سوم چهار دلتا منفی است پس هیچ نقطهای از خم شما در قسمتی از نمودار که بین دو خط عمودی $x=0$ و $x=- \sqrt[3]{4} $ وجود ندارد. زمانی که $x$ از منفی ریشهٔ سوم چهار کمتر است دو نقطه دارید که $y$-ِ آنها از رابطهٔ زیر به دست میآید:
$$y=\dfrac{-x^2\pm\sqrt{x^4+4x}}{2x}$$
اکنون وقتی $x$ به منفی بینهایت میل میکند توجه کنید که $\sqrt{x^4+4x}x$ با $x^2$ همارز میشود ولی توجه کنید که همواره از آن اکیداً حتی اپسیلونی هم شده باشد بزرگتر است. یک بار حد $\dfrac{-2x^2-2}{2x}$ داریم که با حد $-x$ یکسان است و برابر مثبت بینهایت میشود. یک بار حد $\dfrac{0^-}{2x}$ را داریم که صورت صفر حدی منفی است پس حاصل حد صفر حدی مثبت میشود یعنی از بالا به صفر میل میکند.
توجه کنید که ویژگی بسیار زیبای چندجملهایها این است که پیوسته هستند پس تنها کاری که نیاز دارید این است که دو نقطهٔ حدی بدست آمده در منفیبینهایت سمت چپ نمودار یعنی زوج مرتب منفی بینهایت و مثبت بینهایت، و زوج مرتب منفی بینهایت و صفر را سهمیوار (ولی سهمی نیست چون چولگی دارد) به نقطهٔ زوج مرتب منفی ریشهٔ سوم چهار و ریشهٔ سوم چهار، تقسیم بر دو همانند قسمت سمت چپ نمودار رایانهای خودتان در پرسش متصل کنید.
چون نمودارتان نسبت به نیمساز ناحیهٔ یک و سه متقارن است در واقع قسمت پائین شکلی که با رایانه بدست آوردید را با محاسبهٔ بالا دارید. یعنی با یک تیر دو نشان زدهاید و تنها با استفاده از تقارن، خمی را که رسم کردید به پائین کپی کنید.
یک قسمت دیگر از شکل ماندهاست. چرا؟ چون با محاسباتمان نشان دادیم که سمت راست صفر باید دو نقطه در هر خط عمودی داشته باشیم که یکی از آنها بعد از عمل تقارن بدست آمده و تنها یک نقطه در هر خط عمودی باقیماندهاست.
نخست در ضابطهتان $x$ و $y$ را برابر بگذارید. در نتیجه یک معادلهٔ تک مجهولی دارید $2x^3=1$ که یک ریشه دارد. پس یک نقطه روی نیمساز دارید با طول و عرض ریشهٔ سوم یک دوم. با میل دادن $x$ به مثبت بینهایت در ضابطهای که برای $y$ بدست آوردهبودیم یک حالت صفر حدی مثبت و یک حالت منفی بینهایت میدهد. منفی بینهایت که به کپی تقارن ربط دارد، پس کنار میگذاریم. پس زوج مثبت بینهایت و صفر را به نقطهٔ روی نیمساز وصل میکنیم و چون تقارن داریم باید همان را کپی کرده نسبت به نیمساز ناحیهٔ یک و سه که در نتیجه به زوج صفر و مثبت بینهایت میرسد. و چون اکنون روی هر خط عمودی سمت راست صفر دو نقطه داریم پس کل حالتها و نقطهها تمام شدند و شکل اکنون کامل است.
توجه کنید که مراحل بالا هیچ نیازی به اینکه شکل را از قبل بدانید و با رایانه رسم کردهباشید نداشت.
