به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
956 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

با سلام . من یک سوالی داشتم در مورد اثبات خواص تابع لگاریتم طبیعی . توی بلاگ یه پستی نوشته شده بود اما به این موضوع اشاره ای نکرده بود. می دانیم لگاریتم طبیعی به عنوان انتگرال تابع $\frac{1}{x}$ تعریف می شود. سوالم اینه از کجا فهمیدن انتگرال این تابع لگاریتم در پایه e هست و به عبارت دیگه چرا $ln(e) = 1$ ؟ شاید یه کمی منظورمو بد رسونده باشم. منظورم اینه که ببینید یه زمانی برخوردن به تابع $\frac{1}{x}$ بعد یه تابعی تعریف کردن به عنوان انتگرال این. حالا چطوری فهمیدن مفهوم این تابعی که تعریف کردن لگاریتمه و در پایه عدد e ؟

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

بستگی به این داره که لگاریتم رو چطوری تعریف کنید.

اگر لگاریتم رو به صورت معکوس تابع $f(x)=e^x$ تعریف کنید یعنی $g(x)=\ln x$ در اینصورت بنابر قضیه ی مشتق تابع معکوس داریم $g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}=\frac 1{e^{\ln x}}=\frac 1x$ و لذا بنابر قضیه ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهیم داشت:

$$\ln x-\ln 1=\int_1^x(\ln t)'dt=\int_1^x\frac 1tdt$$ اما می دانیم $\ln 1=0$ و لذا تعریف صورت انتگرالی آن واضح است.

اما اگر $\ln x=\int_1^x\frac 1tdt$ تعریف شده باشد در اینصورت $f(x)=\ln x$ مشتق پذیر است و داریم $$f'(x)=\frac 1x \tag{*}\label{*}$$

فرض کنیم که $g(x)$ معکوس $f$ باشد. در اینصورت $g$ مشتقپذیر است و داریم: $$g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}\stackrel{\eqref{*}}{=}\frac 1{\frac 1{g(x)}}=g(x)$$ یعنی به معادله دیفرانسیل $g'(x)=g(x)$ با شرط اولیه $g(0)=1$ می رسیم(چون $f(1)=0$) می رسیم. اما می دانیم که تابع $e^x$ در این معادله صدق می کند لذا بنابر منحصر به فرد بودن باید $g(x)=e^x$ . یعنی $e^x$ معکوس $\ln x$ خواهد بود.(به عبارت دیگر $\ln x$ معکوس $e^x$ است)

پس به این ترتیب باید به جواب سوالتون رسیده باشید چون وقتی $f,g$ معکوس یکدیگرند پس $f\circ g(x)=x$ و $g\circ f(x)=x$ یعنی $e^{\ln x}=x$ و $\ln e^x=x$ .

دارای دیدگاه توسط
ممنون پاسخ خوبی بود. از اونجایی که دیدم بعد از تعریف ln میان تابع نمایی رو به عنوان معکوسش تعریف می کنن فکر می کردم این تابع موقع ابداع تابع لگاریتم وجود نداشته اما بر اساس تعریف دومی که گفتید حتما وجود داشته.
–2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اومدن عددe رو محاسله کردن تا 240رقم بعد اعشار

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...