بستگی به این داره که لگاریتم رو چطوری تعریف کنید.
اگر لگاریتم رو به صورت معکوس تابع $f(x)=e^x$ تعریف کنید یعنی $g(x)=\ln x$ در اینصورت بنابر قضیه ی مشتق تابع معکوس داریم $g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}=\frac 1{e^{\ln x}}=\frac 1x$ و لذا بنابر قضیه ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهیم داشت:
$$\ln x-\ln 1=\int_1^x(\ln t)'dt=\int_1^x\frac 1tdt$$
اما می دانیم $\ln 1=0$ و لذا تعریف صورت انتگرالی آن واضح است.
اما اگر $\ln x=\int_1^x\frac 1tdt$ تعریف شده باشد در اینصورت $f(x)=\ln x$ مشتق پذیر است و داریم $$f'(x)=\frac 1x \tag{*}\label{*}$$
فرض کنیم که $g(x)$ معکوس $f$ باشد. در اینصورت $g$ مشتقپذیر است و داریم:
$$g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}\stackrel{\eqref{*}}{=}\frac 1{\frac 1{g(x)}}=g(x)$$
یعنی به معادله دیفرانسیل $g'(x)=g(x)$ با شرط اولیه $g(0)=1$ می رسیم(چون $f(1)=0$) می رسیم. اما می دانیم که تابع $e^x$ در این معادله صدق می کند لذا بنابر منحصر به فرد بودن باید $g(x)=e^x$ . یعنی $e^x$ معکوس $\ln x$ خواهد بود.(به عبارت دیگر $\ln x$ معکوس $e^x$ است)
پس به این ترتیب باید به جواب سوالتون رسیده باشید چون وقتی $f,g$ معکوس یکدیگرند پس $f\circ g(x)=x$ و $g\circ f(x)=x$ یعنی $e^{\ln x}=x$ و $\ln e^x=x$ .
