$ \frac{(a-b)^2}{8a} \leq \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leq \frac{(a-b)^2}{8b} $

Question

اگر $a \geq b>0$ ثابت کنید :

$$ \frac{(a-b)^2}{8a} \leq \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leq \frac{(a-b)^2}{8b} $$

Answer 1

برای نامساوی سمت چپ با ظرب طرفین در $8a$(چون مثبت است جهت عوض نمی شود) خواهیم داشت:

$$(a-b)^2\leq 4a^2+4ab-8a\sqrt{ab}=(2a-2\sqrt{ab})^2$$

این برقرار است اگر و تنها اگر $|a-b|\leq |2a-2\sqrt{ab}|$ اما داخل قدر مطلق ها مثبت هستند(بنابرفرض مساله) لذا $a-b\leq 2a-2\sqrt{ab}$ و یا $a-2\sqrt{ab}+b\geq 0$ یعنی $(\sqrt a-\sqrt b)^2\geq 0$ که همواره برقرار است.