متاسفانه سوال رو با جزییات توضیح ندادید. و تعریف تابع بالایی رو کامل و درست نگفتید. تابع $f:X\to \mathbb R$ را یک تابع بالایی گوییم هرگاه دنباله ای از توابع پله ای مانند $\phi_n$ موجود باشد که $\phi_n \uparrow f$ تقریبا همه جا و $\lim \int \phi_n< \infty$ .(کتاب Aliprantis رو ببینید)
سوال شما یکی از تمرینات کتاب هست که باید ذکر میکردید و در قسمت مرجع سوال اشاره میکردید.
چون $f:[a, b]\to \mathbb R$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس پیوسته یکنواخت است.(پس توجه کنید ذکر این مطلب که دامنه بازه بسته $[a, b]$ است خیلی کمک می کند)
بنابر تعریف پیوستگی یکنواخت
$$\forall \epsilon>0\exists \delta(\epsilon)>0: |x-y|< \delta(\epsilon)\implies |f(x)-f(y)|< \epsilon\tag{*}\label{*}$$
پس برای هر $n\in\mathbb N$ با قرار دادن $\epsilon=\frac 1n>0$ یک $\delta_n>0$ موجود است که اگر $|x-y|< \delta_n$ آنگاه $|f(x)-f(y)|< \frac 1n$ .
حال بازه ی $[a, b]$ را به زیر بازه های $I_1, I_2,..., I_m$ به گونه ای تقسیم کنید که طول هر بازه کمتر از $\delta_n$ باشد. یعنی برای هر $x,y\in I_k$ داشته باشیم $|x-y|< \delta_n$ . در واقع انگار افراز $P=(x_0=a,x_1,...,x_n=b)$ را از بازه ی $[a, b]$ در نظر میگیریم که داشته باشیم $|x_i-x_{i-1}|< \delta_n$
حال تابع $\phi_n$ را به صورت زیر تعریف کنید:
$$\phi_n(x)=\begin{cases}\min_{x\in I_k}f(x)&x\in I_k\\ 0&x\notin [a, b]\end{cases}$$
توجه کنید که چون $f$ پیوسته است و بازه های $I_k=[x_{k-1}, x_k]$ فشرده هستند پس مینیمم وجود دارد.
حال چنانچه $x\in [a, b]$ در اینصورت به ازای $k$ی داریم $x\in I_k$ لذا
$$|\phi_n(x)-f(x)|=|\min_{x\in I_k}f(x)-f(x)|\stackrel{\eqref{*}}< \epsilon$$
یعنی $\phi_n$ به طور یکنواخت به $f$ همگراست و به علاوه بنابر نحوه ساخت که به صورت مینیمم تعریف کردیم لذا $\phi_n\leq f$
از طرفی چون $f$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس بیشترین مقدار خود را اختیار می کند لذا کراندار است یعنی $|f(x)|\leq M\in \mathbb R^+$ بنابر این
$\int\phi_n\leq M(b-a)$ لذا $\lim\int \phi_n< \infty$
بنابراین $f$ تابع بالایی است.
