این یک قضیه مشهور به نام قضیه پرینگسهایم(pringsheim) می باشد. گیریم $ x_{k}= a_{n} $ و $k=n$ باشد. فرض کنیم $ S_{n} = a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} $ با توجه به فرض وجود داردAبه طوری که $ \sum_1^ \infty a_{n} =A $ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty }S_{2n} =A$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{2n} - S_{n} =0$. حال توجه می کنیم که
$ S_{2n} - S_{n} = a_{n+1} + a_{n+2} +...+ a_{2n} \geq a_{2n} + a_{2n} +...+ a_{2n} $
بنابراین $0 \leq n a_{2n} \leq S_{2n} - S_{n}$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{2n}=0$ حال دقت میکنیم که
$ a_{2n+1} \leq a_{2n} \Rightarrow 0 \leq (2n+1) a_{2n+1} \leq( \frac{2n+1}{2n} )(2n a_{2n} ) $ پس $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ پس ثابت کردیم که
1- $ \lim_{n \rightarrow \infty } 2n a_{2n}=0$
2- $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$
بنابراین
$ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{n}=0$
اثباتی که ارائه شد به نظرم ساده ترین اثبات موجوده. این اثبات از کتاب آنالیز ریاضی گلدبرگ نوشته شد. البته اثباتهای دیگه ای هم وجود داره.
