Question

ثابت کنید ماکسیمم یک مجموعه از اعداد برابر ماکسیمم ترکیب محدب آن هاست.

Comments

لطفا موضوع پرسشتان را کپی شدهٔ متن پرسشتان قرار ندهید. بعلاوه کمی در پرسشتان توضیح بیفزائید که چه اقدامی تا کنون کردید و چه مشکلی دارید.

Answer 1

فرض کنید $x_1$ تا $x_n$ یک تعداد اعداد حقیقی باشند. بدون کاستن از کلیت حداکثر با یک بازاندیس‌گذاری فرض کنید بیشینهٔ آنها برابر با $x_1$ باشد. به یاد آورید که یک ترکیب محدب از آنها برابر با $\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i$ بود که لانداها (لامبداها) باید در شرط $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ صدق کنند. چون هر $x_i$ از $x_1$ کوچکتر یا مساوی است پس می‌توان نوشت

$$\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n\leq\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_1=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)x_1=x_1$$

پس هر ترکیب محدبی از این عددها نیز از بیشنه‌شان کمتر می‌شود.