کمترین تعداد اعداد حقیقی بازه $(-1,1)$ که مجموعشان صفر و مجموع مربعاتشان 20 شود ؟

Question

کوچکترین عدد طبیعی $n$ را بیابید که $n$ عدد حقیقی در بازه $(-1,1)$ وجود داشته باشند به طوری که مجموعشان $0$ و مجموع مربعاتشان $20$ باشد .

تلاش خودم : سعی کردم از نامساوی شوارتز استفاده کنم اما به نتیجه نرسید .

Answer 1

در این استدلال از یک لم کمک میگیریم و به کمک آن نشان میدهیم که پاسخ نمیتواند کمتر یا مساوی $21$ باشد. همچنین با ارائه مثالی ساده ثابت میکنیم پاسخ مسئله برابر $22$ است ؛اما پیش از آن باید در نظر داشته باشیم که هیچ یک از این $n$ عدد برابر صفر نیست زیرا در این صورت با حذف عدد صفر همچنان $n-1$ عدد وجود دارد که شرایط فوق را داشته باشد و بدیهیست که $n-1\lt n$ پس پاسخ اولیه کمترین تعداد ممکن نبوده است. حال آماده ایم به لم بپردازیم:

لم

اگر $(n \in \mathbb{N}) \quad 2n+1$ عدد غیر صفر در بازه $(-1,1)$ داشته باشیم به طوری که مجموعشان برابر صفر باشد، مجموع مربعاتشان کمتر از $2n$ خواهد بود.

اثبات

این $2n+1$ عدد را به دو گروه $a$ و $b$ تقسیم میکنیم به صورتی که هر دو عدد هم علامت در یک گروه قرار بگیرند، یعنی اعداد مثبت در یک گروه و اعداد منفی در گروه دیگر. بدیهیست که تعداد اعضای دو گروه نمیتواند برابر باشد زیرا مجموع تعداد اعضای دو گروه فرد است پس قطعا یگ گروه از دیگری تعداد اعضای بیشتری دارد. همچنین از آنجا که علامت هر گروه را مشخص نکرده ایم (برای مثال مشخص نکرده ایم که گروه $a$ شامل همه اعداد مثبت باشد یا همه اعداد منفی) مجازیم فرض کنیم که گروه $a$ تعداد اعضای کمتری دارد. با توجه به فرض مجموع اعداد برابر صفر است پس داریم:

$a_1+a_2+\cdots+a_m=-(b_1+b_2+\cdots+b_{2n-m+1})\quad(1\le m\le n)$

وجود شرط $m\le n$ به این علت است که اگر چنین نباشد گروه $b$ تعداد اعضای بیشتری خواهد داشت.

به ازای هر $x$ در این $2n+1$ عدد داریم $x^2\lt|x|$ زیرا اعداد در بازه $(-1,1)$ هستند و هیچ یک برابر با صفر نیست. بنابراین:

$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_m^2)+(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{2n-m+1}^2)\lt(|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_m|)+(|b_1|+|b_2|+\cdots+|b_{2n-m+1}|)$

و چون اعضای هر دو گروه هم علامتند و همچنین مجموع $a$ ها با قرینه مجموع $b$ ها برابر است داریم:

$(|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_m|)+(|b_1|+|b_2|+\cdots+|b_{2n-m+1}|)=|a_1+a_2+\cdots+a_m|+|b_1+b_2+\cdots+b_{2n-m+1}|=2|a_1+a_2+\cdots+a_m|$

و از آنجا که هر یک از $a_i$ ها در بازه $(-1,1)$ است خواهیم داشت:

$2|a_1+a_2+\cdots+a_m|\lt2m$

با توجه به نابرابری های فوق:

$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_m^2)+(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{2n-m+1}^2)\lt(|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_m|)+(|b_1|+|b_2|+\cdots+|b_{2n-m+1}|)$

$=|a_1+a_2+\cdots+a_m|+|b_1+b_2+\cdots+b_{2n-m+1}|=2|a_1+a_2+\cdots+a_m|\lt2m\le2n$

$\Rightarrow a_1^2+a_2^2+\cdots+a_m^2+b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{2n-m+1}^2\lt2n$

و به این ترتیب اثبات لم کامل میشود.

پاسخ مسئله

با توجه به اینکه همه اعداد در بازه $(-1,1)$ هستند واضح است که پاسخ کوچک تر از $21$ نیست. با توجه به لم در حالت $n=10$ مجموع $21$ عدد در بازه $(-1,1)$ که مجموعشان برابر صفر است همواره کمتر از $20$ میباشد لذا نمیتواند برابر با $20$ باشد و در نتیجه $21$ نیز پاسخ مسئله نیست. اما اگر $22$ عدد در این بازه داشته باشیم به طوری که نصف این تعداد برابر $\sqrt{\frac{10}{11}}$ و نصف دیگر آنها برابر $-\sqrt{\frac{10}{11}}$ باشند مجموع برابر با صفر و مجموع مربعات برابر با $20$ خواهد بود که نشان میدهد پاسخ مسئله برابر $22$ است.

Answer 2

پرسش را یک بار از نو می‌نویسیم.

$$\begin{array}{l} \min_{n\in\mathbb{N}} n = ?\\ \text{s.t.}\;\exists x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}\;\colon\;\begin{cases} \forall i\;\colon\; -1< x_i< 1\\ x_1+\dots+x_n = 0\\ x_1^2+\dots+x_n^2=20 \end{cases} \end{array}$$

توجه کنید که چون $x_i\in (-1,1)$ پس $x_i^2$ها از ۱ کمتر هستند، پس خیلی بدیهی، $n$ باید از ۲۰ بیشتر باشد، تا اینجا یعنی دستِ‌کم باید ۲۱ باشد.

یک پاسخ با ۲۲ عدد می‌سازیم. ۱۸ تای نخست را یک در میان $0.999$ و $-0.999$ قرار دهید پس جمع ۱۸ تای نخست صفر و جمع توان‌دوی آنها برابر با $17.964018$ می‌شود. اگر قرار باشد این ۱۸ عدد را بتوان با افزودن ۴ عدد دیگر به یک پاسخ گسترش داد، آنگاه این ۴ عدد باید در شرط‌های زیر صدق کنند. این چهار عدد را با $x$ و $y$ و $z$ و $w$ به جای $x_{19}$ تا $x_{22}$ نمایش دهید.

$$-1< x,y,z,w< 1,\; x+y+z+w=0,\; x^2+y^2+z^2+w^2=2.035982$$

برابریِ نخست به ما می‌گوید $w=-(x+y+z)$ و با جایگذاریِ آن در برابریِ دوم یک معادله-سه مجهول داریم که سه مجهول به مکعبِ $[-1,1]^3$ محدود هستند. ولی به یاد داشته باشید که برای $w$ نیز محدودیت داریم که به ما می‌گوید سه مجهول‌مان باید نقطه‌ای بینِ دو صفحهٔ $x+y+z=-1$ و $x+y+z=1$ بدهد. پس از نظر هندسی، نقطه‌های روی رویهٔ آبی‌رنگ زیر که بین دو صفحهٔ سبز رنگ و در داخل مکعبِ به مرکز مبدأ و با یال به درازای ۲ هستند، این امکان را دارند که نقطهٔ ۱۸تایی‌مان را به یک نقطهٔ ۲۲تایی که در پرسش اصلی صدق کند گسترش دهند. شکل زیر را ببینید.

در زیر تحدیدِ این شکل به مکعبِ یادشده را می‌بینید.

مشخص است که بینهایت نقطه با این ویژگی وجود دارند.

پس کمینه‌ای که پرسش به دنبالش است باید کوچکتر یا مساوی ۲۲ باشد. پس پاسخ نهایی یا ۲۱ است یا ۲۲. اما چرا برای ۲۲ انجام دادیم و نه برای ۲۱؟ چون با ثابت گذاشتن مقدار ۱۸ عدد نخست به عدد نزدیک یک و منفی آن، هیچ سه‌تایی‌ای که در شرایط لازم برای گسترش به یک پاسخ صدق کنند نمی‌توانیم بیابیم. علت آن نیز این است که با روش مشابه به بالا از نظر هندسی باید نقطه‌هایی از صفحه را بیابیم (نقطهٔ سوم را قرار با قرینهٔ جمع دوتای دیگر بگیرید) که بین دو خط سبز رنگ در شکل زیر، داخل مربع با مرکز مبدأ و یال به درازای ۲، و بر روی بیضیِ آبی‌رنگ باشند. که چنین نقطه‌ای وجود ندارد.

اما آیا به روش دیگری می‌توان یک نقطهٔ ۲۱تایی یافت که در پرسش اصلی صدق کند؟

Comments

@AmirHosin راه حلتان جالبه اما به نظرم جواب با کمترین21 باشه

---

@amir7788 چرا «اما»؟ چیزی که در این پاسخ گفته‌ایم این است که کمینه عددی کمتر از ۲۱ و عددی بیشتر از ۲۲ نیست و ادعایی بر اینکه کمینه کدام یک از ۲۱ یا ۲۲ است نکرده‌ایم. در آخر نیز ثابت کردیم که روشی که با آن پاسخ برای حالت ۲۲ ساخته‌ایم برای حالت ۲۱ پاسخی نمی‌سازد و این جمله به معنای رد یا پذیرش ۲۱ نیست.

---

راه حل شما برای 22 هرچند کمی طولانی می باشه، کاملا صحیح است.  از آنجا که فکرم کنم کمترین 21 می باشه  «اما» بکار بردم چون کمترین مد نظر بود.

Answer 3

دستگاه زیر

$$\begin{array}{l} \begin{cases} \forall i\;\colon\; -1< x_i< 1\\ x_1+\dots+x_n = 0\\ x_1^2+\dots+x_n^2=20 \end{cases} \end{array}$$ برای n های زوج بزرگتر از 20 همواره داری جواب می باشه مثلا $$x_i= \sqrt{ \frac{20}{n} } (-1)^i$$ جواب دستگاه می باشه.

Comments

@amir7788 برای $n$های فرد پاسخ دستگاه نخواهدبود چون جمع‌شان صفر نخواهدشد. بنابراین برای نمونه برای ۲۱ صدق نمی‌کند.

---

فقط خواستم یه جواب شهودی کوتاه برای n های زوج معرفی کنم برای n مساوی 21 باید بیشتر فکر کنم