Question

ثابت کنید اعداد اول نامتناهی هستند.

Answer 1

به نام خدا

معمولاً اثبات رایجی که برای این مطلب می‌آورند، اثبات اقلیدس است ولی در اینجا اثباتی را می‌بینید که به‌صورت مستقیم این مطلب را ثابت می‌کند و فردی به نام Filip Saidak، آن را ارائه داده‌است.

عدد طبیعی $n$ را در نظر بگیرید ($n > 1$). از آنجایی که $n$ و $n + 1$ نسبت به هم اول هستند و $n$ حداقل یک شمارندۀ اول دارد، پس عدد $N_1 = n(n + 1)$، حداقل دو شمارندۀ اولِ متمایز دارد. به‌طور مشابه، چون $N_1$ و $N_1 + 1$، نسبت به هم اول هستند، پس عدد $N_2 = N_1(N_1 + 1)$، حداقل سه شمارندۀ اول متمایز دارد (زیرا نشان دادیم که خود $N_1$ به تنهایی دو شمارندۀ اول متمایز دارد). این عمل می‌تواند بی‌نهایت بار تکرار شود و هر بار اعداد اول متمایز پیدا شوند؛ در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است. $\blacksquare$

Answer 2

باتوجه تمرین <<اگر2و3و...وp تمام اعداد اول کوکتریامساوی p باشند؛ثابت کنیدکه $N=(2 \times 3 \times ... \times p)+1$ یا اول است ویا عامل اول بزرگتر ازp دارد.>>درکتاب جبرسوم دبیرستان اعداد اول نامتناهی هستند اثبات:

برهان خلف :فرض کنیم Nاول نیست و عامل اول کوچکتریامساوی pمانند$ \acute{p} $ دارد

پس$N=\acute{p} \times Q$

$\acute{p} \times Q-(2 \times 3 \times ... \times \acute{p} \times ... \times p)=1$

$\acute{p}[ Q-(2 \times 3 \times ... \times p)]=1$

$ \acute{p}=1 $می شودکه تناقض است