Question

ثابت کنید اعداد اول نامتناهی هستند.

Answer 1

به نام خدا

معمولاً اثبات رایجی که برای این مطلب می‌آورند، اثبات اقلیدس است ولی در اینجا اثباتی را می‌بینید که به‌صورت مستقیم این مطلب را ثابت می‌کند و فردی به نام Filip Saidak، آن را ارائه داده‌است.

عدد طبیعی $n$ را در نظر بگیرید ($n > 1$). از آنجایی که $n$ و $n + 1$ نسبت به هم اول هستند و $n$ حداقل یک شمارندۀ اول دارد، پس عدد $N_1 = n(n + 1)$، حداقل دو شمارندۀ اولِ متمایز دارد. به‌طور مشابه، چون $N_1$ و $N_1 + 1$، نسبت به هم اول هستند، پس عدد $N_2 = N_1(N_1 + 1)$، حداقل سه شمارندۀ اول متمایز دارد (زیرا نشان دادیم که خود $N_1$ به تنهایی دو شمارندۀ اول متمایز دارد). این عمل می‌تواند بی‌نهایت بار تکرار شود و هر بار اعداد اول متمایز پیدا شوند؛ در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است. $\blacksquare$

Answer 2

با توجه به تمرین «اگر 2 و 3 و ... و $p$ تمام اعداد اول کوچکتر یا مساوی $p$ باشند، ثابت کنید که $N=(2\times 3 \times \cdots \times p)+1$ اول است یا عامل اول بزرگتر از $p$ دارد» در کتاب جبر سوم دبیرستان: اعداد اول نامتناهی هستند.

اثبات. به برهان خلف فرض کنید که $N$ اول نیست و عامل اول کوچکتر یا مساوی $p$ مانند $p'$ دارد. در نتیجه:

$N=p'\cdot Q$

$\implies (p'\cdot Q) - N = 0$

$\implies (p'\cdot Q) - (2\times 3 \times \cdots \times p) - 1 = 0$

$\implies (\color{black}{p'}\cdot Q)-(2\times 3 \times \cdots \times \color{black}{p'}\times\cdots\times p) = 1$

$\implies p'\cdot\big(Q-(2 \times 3 \times \cdots \times p)\big)=1$

$\implies p'\mid1$

$\implies \color{red}{p' = 1}\ \large※$

که چون $p'$ عددی اول است و $p>1$، پس به تناقض رسیدیم و فرض خلف باطل شد. $\blacksquare$