به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,693 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)

ثابت کنید اعداد اول نامتناهی هستند.

مرجع: ریاضی مبتکران

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)

به نام خدا

معمولاً اثبات رایجی که برای این مطلب می‌آورند، اثبات اقلیدس است ولی در اینجا اثباتی را می‌بینید که به‌صورت مستقیم این مطلب را ثابت می‌کند و فردی به نام Filip Saidak، آن را ارائه داده‌است.

عدد طبیعی $n$ را در نظر بگیرید ($n > 1$). از آنجایی که $n$ و $n + 1$ نسبت به هم اول هستند و $n$ حداقل یک شمارندۀ اول دارد، پس عدد $N_1 = n(n + 1)$، حداقل دو شمارندۀ اولِ متمایز دارد. به‌طور مشابه، چون $N_1$ و $N_1 + 1$، نسبت به هم اول هستند، پس عدد $N_2 = N_1(N_1 + 1)$، حداقل سه شمارندۀ اول متمایز دارد (زیرا نشان دادیم که خود $N_1$ به تنهایی دو شمارندۀ اول متمایز دارد). این عمل می‌تواند بی‌نهایت بار تکرار شود و هر بار اعداد اول متمایز پیدا شوند؛ در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است. $\blacksquare$

+1 امتیاز
توسط good4us (7,308 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

با توجه به تمرین «اگر 2 و 3 و ... و $p$ تمام اعداد اول کوچکتر یا مساوی $p$ باشند، ثابت کنید که $N=(2\times 3 \times \cdots \times p)+1$ اول است یا عامل اول بزرگتر از $p$ دارد» در کتاب جبر سوم دبیرستان: اعداد اول نامتناهی هستند.

اثبات. به برهان خلف فرض کنید که $N$ اول نیست و عامل اول کوچکتر یا مساوی $p$ مانند $p'$ دارد. در نتیجه:

$N=p'\cdot Q$

$\implies (p'\cdot Q) - N = 0$

$\implies (p'\cdot Q) - (2\times 3 \times \cdots \times p) - 1 = 0$

$\implies (\color{black}{p'}\cdot Q)-(2\times 3 \times \cdots \times \color{black}{p'}\times\cdots\times p) = 1$

$\implies p'\cdot\big(Q-(2 \times 3 \times \cdots \times p)\big)=1$

$\implies p'\mid1$

$\implies \color{red}{p' = 1}\ \large※$

که چون $p'$ عددی اول است و $p>1$، پس به تناقض رسیدیم و فرض خلف باطل شد. $\blacksquare$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...