ابتدا مجموعه $(I:J)$ را تعریف می کنیم:
$$ (I:J)=\{ r \in R | rJ \subseteq I \}=\{ r \in R | rb \in I ,\forall b \in J \} $$
نشان می دهیم این مجموعه ایده آلی از حلقه R است. لذا دو چیز را باید ثابت کرد:
1- به ازای هر $ r,s \in (I:J) $ داشته باشیم $r-s \in (I:J)$
2- به ازای هر $r \in R$ و هر $s \in (I:J)$ داشته باشیم $rs, sr \in (I:J)$
برای اثبات قسمت اول چون $r,s \in (I:J)$ لذا طبق تعریف داریم $rb , sb \in I, \forall b \in J$ چون I ایده آل است پس $rb-sb \in I $ و یا $(r-s)b \in I$ و لذا $(r-s) \in (I:J)$
برای اثبات قسمت دوم توجه میکنیم که $s \in (I:J)$ باز بنا به تعریف نتیجه می شود که به ازای هر $b \in J$ داریم $sb \in I$ چون I یک ایده آل است پس به ازای هر $r \in R$ داریم $(rs)b = r(sb) \in I$ پس $rs \in (I:J)$ همچنین از آنجاکه $sb \in I$ و I ایده آل است می توان نوشت $(sr)b = s(rb) \in I$ زیرا $b \in J$ و J ایده آل است و لذا $rb \in J$ برای هر $r \in R$ و بنابراین حکم بالا صادق است و لذا $sr \in (I:J)$
و حکم ثابت است. $\Box$
