معادله مثلثاتی $(\cos\alpha_1+\cdots +\cos\alpha_n)^2+(\sin\alpha_1+\cdots +\sin\alpha_n)^2\leq n^2$

Question

لطفا معادله مثلثاتی داده شده را ثابت کنید.

$$(\cos\alpha_1+\cdots +\cos\alpha_n)^2+(\sin\alpha_1+\cdots +\sin\alpha_n)^2\leq n^2$$

Comments

با استقرا ظاهرا به جواب می رسید خودتون تا کجا اینو حل کردید. از چه روشی؟

Answer 1

مثلا از فرمول اویلر استفاده کنید: $$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta\\ |e^{i\theta}|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta$$

در اینجا با استفاده از نامساوی مثلثی داریم: $$\begin{align}(\cos \alpha_1+\cdots \cos\alpha_n)^2+(\sin \alpha_1+\cdots +\sin\alpha_n)^2&=|e^{i\alpha_1}+\cdots+e^{i\alpha_n}|^2\\ &\leq\left(|e^{i\alpha_1}|+\cdots+|e^{i\alpha_n}|\right)^2\\ &=n^2\end{align}$$

چرا که $|e^{i\theta}|=1$ .