تعریف هذلولوی را به یاد آورید. دو نقطه کانون و یک عدد مثبت برمی‌دارید که دو نقطه بر هم منطبق نیستند و فاصلهٔ آنها را
$2c$
فرض می‌کنیم. توجه کنید که
$c$
را من خودم نمی‌دهم بلکه فاصلهٔ بین آن دو نقطه را تقسیم بر دو می‌کنم و یک عدد به دست می‌آورم که
$c$
می‌نامم. اگر عدد مثبت
$a$
از
$c$
بزرگتر یا مساوی بود در آن صورت هذلولوی‌ای تعریف نمی‌شود (دلیلش از تعریفی که یادآور می‌شویم روشن است). اکنون هذلولوی تولید شده به وسیلهٔ این دو نقطه و آن عدد را مجموعهٔ نقطه‌هایی از
$\mathbb{R}^2$
تعریف می‌کنیم که قدرمطلق تفاضل فاصله‌شان از این دو نقطه برابر
$2a$
شود.
زمانی که این تعریف هذلولوی را در هندسهٔ تحلیلی انجام می‌دادند بلافاصله نیز اثبات می‌کردند که هر نقطه از هذلولوی تولید شده بوسیلهٔ دو نقطهٔ
$F_1=(a_1,b_1)$
و
$F_2=(a_2,b_2)$
و عدد مثبت
$a$
که
$a\lneqq\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}$
است در برابری (معادله) زیر صدق می‌کنند. حتی بیشتر، نقاط این هذلولوی دقیقا پاسخ‌های این برابری هستند.
$$|\sqrt{\sqrt{(x-a_1)^2+(y-b_1)^2}+\sqrt{(x-a_2)^2+(y-b_2)^2}}|$$
می‌توانید نشان دهید که قدرمطلق تفاضل فاصلهٔ هیچ نقطه‌ای از صفحه از دو نقطهٔ ثابت بیشتر از فاصلهٔ بین آن دو نقطه نمی‌شود. راهنمایی: یک سه گوش دارید و سپس نامساوی سه‌گوشی (مثلثی) استفاده کنید. این دلیل آن بود که
$a$
را از
$c$
کوچکتر باید بگیرید و گر نه مجموعه پاسخ‌های برابری‌تان تهی می‌شود.
اکنون یک محک برای اینکه ببینید آیا یک نگاشت (نگاشت الزاما تابع نیست و نگاشتی که نمودارش کل هذلولوی شود نیز تابع نیست) هذلولوی است و با دو کانون و یک عدد مثبت تعریف شده‌است یا خیر دارید. (برای تفاوت بین تابع و نگاشت به پاسخ آمده در این پیوند نگاه بیندازید).
بیایید نمونه‌ای از نگاشت‌هایی که خودتان در متن پرسش‌تان آورده‌اید را بررسی کنیم.
$$|y|=x^2+1$$
نکته: توجه کنید که با کمک تعریف هذلولوی یا برابری تعریف‌کننده‌اش می‌توانید ببینید که هذلولوی همیشه نسبت به خط وصل کنندهٔ دو کانونش و همین‌گونه نسبت به عمودمنصف آن خط متقارن است. بعلاوه عمودمنصف آن خط را قطع نمی‌کند. بعلاوه عمودمنصف را در دونقطه قطع می‌کند که فاصله‌شان از هم برابر
$2a$
می‌شود.
چون نمودار نگاشت شما نسبت به محور
$y$
ها و محور
$x$
ها متقارن است و محور
$y$
ها را در دو نقطه با پهنا (عرض) یک و منفی یک قطع کرده‌است، اگر بخواهد هذلولوی باشد چاره‌ای ندارد به جز اینکه کانون‌هایش روی محور
$x$
ها باشد و
$2a=2$
. پس در برابری‌تان باید بگذارید
$$a=2,a_1=0,b_1=c,a_2=0,b_2=-1$$
اکنون چون برای هر نقطه از هذلولوی باید برابری برقرار باشد بیایید یک نقطه از قسمت بالای این نمودارتان که با
$y$
مثبت است را چک کنیم. پس باید به جای
$y$
در رابطه‌تان قرار دهید
$x^2+1$
در نتیجه یک معادله و دو مجهول دارید. آن را ساده کنید اگر
$x$
حذف شد و
$c$
مساوی عددی ثابت شد یعنی کانون‌های شما دو نقطه هستند و واقعا هذلولوی دارید. اگر به جای آن به یک معادله‌ای که
$x$
به هیچ وجه در آن زائد نیست رسیدید یعنی این تفاضل فاصله برای برابر شدن با
$2a$
برای هر نقطه از نمودار نسبت به دو کانون متفاوت حساب شده‌اند! یعنی با تغییر
$x$
، مقدار
$c$
شما تغییر می‌کند که تناقض است چون شما کانون‌ها را دو نقطهٔ ثابت فرض کرده‌اید که
$c$
آنها نمی‌تواند تغییر کند؟ چگونه امکان دارد طول و عرض یک نقطهٔ ثابت چند عدد متفاوت شود؟
برای این نگاشت آخرین رابطه‌ای که در ساده‌سازی بازگشتی (توان رساندن و انتقال عبارت‌ها و ساده‌سازی) من به رابطهٔ زیر رسیدم:
$$(16c^2-64)x^4+(32c^2-192)x^2-48c^2+192=0$$
همان‌گونه که می‌بینید به حالتی رسیدیم که هذلولوی ندارید.
اگر دلتان خواست روش بالا را برای زمانی که
$|y|=\sqrt(x^2+1)$
است به جای خود
$x^2+1$
امتحان کنید، آنگاه به
$c=\sqrt{2}$
می‌رسید. و این دقیقا هذلولوی
$y^2-x^2=1$
است.
نگاشت‌های دیگری که در پرسش‌تان آورده‌اید را نیز به همین شیوه چک کنید که هذلولوی هستند یا خیر. تنها چیزی که اذیت می‌کند این است که باید یک مقدار محاسبه انجام بدهید که خسته‌کننده‌است. شاید کمک گرفتن از یک نرم‌افزار برای انجام ساده‌سازی‌ها کمی کمکتان کند.
