به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,336 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط javaddivad
ویرایش شده توسط saderi7

فرض کنیم $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J $

اعداد ثابت باشند چه شرایطی را روی این پارامتر ها قرار دهیم تا این که معادله ی $$A x^{2} +B y^{2} +C z^{2} +Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+y$$ معرف یک کره باشد . سپس درصورت مرکز این کره و شعاع آن را تعیین کنید

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amirabbas
انتخاب شده توسط javaddivad
 
بهترین پاسخ

با مربع کامل کردن میتونیم تبدیلش کنیم به معادله استاندارد کره. اول اینکه D , E , F باید صفر باشن در غیر این صورت نمیتونیم مربع کامل کنیم. پس معادله زیر رو در نظر می گیریم.

$$ Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx + Hy + Iz = J $$

از ضرایب $x^2 , y^2 , z^2$ فاکتور میگیریم.

$$ A(x^2 + \frac{G}{A}x + \frac{G^2}{4A^2}) + B(y^2 + \frac{H}{B}y + \frac{H^2}{4B^2}) + C(z^2 + \frac{I}{C}z + \frac{I^2}{4C^2}) = J + \frac{G^2}{4A} + \frac{H^2}{4B} + \frac{I^2}{4C} $$

قسمت سوم هر پرانتز رو برای اینکه بتونم مربع کامل کنم اضافه کردم پس اونا رو به طرف دیگه معادله هم اضافه کردم.حالا با مربع کامل کردن میتونیم بنویسیم:

$$ A(x + \frac{G}{2A})^2 + B(y + \frac{H}{2B})^2 + C(z + \frac{I}{2C})^2 = J + \frac{G^2}{4A} + \frac{H^2}{4B} + \frac{I^2}{4C} $$

در معادله استاندارد کره پرانتز های سمت چپ ضریب ندارن پس باید اونا رو ساده کرد و این در صورتی ممکنه که با هم دیگه برابر باشد پس $A = B = C$ و میشه نوشت :

$$ A(x + \frac{G}{2A})^2 + A(y + \frac{H}{2A})^2 + A(z + \frac{I}{2A})^2 = J + \frac{G^2 + H^2 + I^2}{4A} $$

حالا کافیه دو طرف رو به A تقسیم کنیم.

$$ (x + \frac{G}{2A})^2 + (y + \frac{H}{2A})^2 + (z + \frac{I}{2A})^2 = \frac{J}{A} + \frac{G^2 + H^2 + I^2}{4A^2} $$

از مقایسه معادله بالا با معادله کره به راحتی میشه مرکز و شعاع رو حساب کرد. مقدار زیر برابر با شعاع کره خواهد بود که طبعا بزرگتر از صفر بودن عبارت زیر رادیکال یکی از شرط های کره بودنه

$$\sqrt{\frac{J}{A} + \frac{G^2 + H^2 + I^2}{4A^2}}$$

و همچنین برای مختصات مرکز این کره می توان نوشت:

$$ x = -\frac{G}{2A} , y = -\frac{H}{2A}, z = -\frac{I}{2A} $$

پس برابری و ناصفر بودن پارامتر های A , B . C یک شرطه. مثبت بودن عبارت زیر رادیکال هم یک شرطه(در صورت منفی بودن تعریف نشده و مکان هندسی معادله تهی خواهد بود. و در صورت صفر بودن معادله مکان هندسی یک نقطه(همان مرکز کره) خواهد بود.) و صفر بودن F , E , D هم شرط دیگه برای کره بودن.

البته این پاسخ رو با تعمیم روشی که برای استاندارد سازی معادله دایره بکار می رود به دست آوردم و از درستیش مطمئن نیستم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...