در مقاله زیر توضیحات خوبی در این مورد داده شده. برداشتم رو از این مقاله می نویسم:
https://www.johndcook.com/blog/2011/08/17/odd-numbers-in-odd-bases
در حالت کلی می توان گفت:
یک عدد در مبنای فرد ، فرد است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن عدد عددی فرد باشد به عبارت دیگر اگر تعداد فردی رقم فرد داشته باشد و در غیر اینصورت عددی زوج است.
یک عدد در مبنای زوج ، زوج است اگر و تنها اگر رقم آخر آن عددی زوج باشد.
این احکام بدین طریق اثبات می شوند:
عددی n رقمی در مبنای b فرض می کنیم . نمایش این عدد در مبنای 10 به صورت زیر است:
$$ a_1 + a_2b + a_3b^2 + ... + a_nb^{n-1}$$
اگر b عددی زوج باشد خواهیم داشت:
$$ a_1 + a_2(2k) + a_3(2k)^2 + ... + a_n(2k)^{n-1} $$
واضح است که به جز $a_1$ دیگر جملات حتما زوج هستند و طبعا مجموع آنها عددی زوج خواهد بود.پس اگر $a_1$ که همان رقم اول عدد است زوج باشد این عدد زوج و اگر فرد باشد این عدد فرد است و اولین حکم اثبات می شود.
برای حکم دوم فرض می کنیم b عددی فرد است:
$$ a_1 + a_2(2k+1) + a_3(2k+1)^2 + ... + a_n(2k+1)^{n-1} $$
با به توان رساندن این عدد می بینیم تمام جملات به جز جملات زیر حتما زوج هستند
$$ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n $$
پس عدد زوج است اگر و تنها اگر مجموع این عبارت عددی زوج باشد و در غیر اینصورت عددی فرد است.
