به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
331 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط shahabmath

راه تشخیص زوج یا فرد بودن یک عدد مبنادار چیست؟ مثلا از کجا بفهمیم $ \big(76753\big) $ در مبنای 8 زوج است یا فرد؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas

در مقاله زیر توضیحات خوبی در این مورد داده شده. برداشتم رو از این مقاله می نویسم:

https://www.johndcook.com/blog/2011/08/17/odd-numbers-in-odd-bases

در حالت کلی می توان گفت:

یک عدد در مبنای فرد ، فرد است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن عدد عددی فرد باشد به عبارت دیگر اگر تعداد فردی رقم فرد داشته باشد و در غیر اینصورت عددی زوج است.

یک عدد در مبنای زوج ، زوج است اگر و تنها اگر رقم آخر آن عددی زوج باشد.

این احکام بدین طریق اثبات می شوند:

عددی n رقمی در مبنای b فرض می کنیم . نمایش این عدد در مبنای 10 به صورت زیر است:

$$ a_1 + a_2b + a_3b^2 + ... + a_nb^{n-1}$$

اگر b عددی زوج باشد خواهیم داشت:

$$ a_1 + a_2(2k) + a_3(2k)^2 + ... + a_n(2k)^{n-1} $$

واضح است که به جز $a_1$ دیگر جملات حتما زوج هستند و طبعا مجموع آنها عددی زوج خواهد بود.پس اگر $a_1$ که همان رقم اول عدد است زوج باشد این عدد زوج و اگر فرد باشد این عدد فرد است و اولین حکم اثبات می شود.

برای حکم دوم فرض می کنیم b عددی فرد است:

$$ a_1 + a_2(2k+1) + a_3(2k+1)^2 + ... + a_n(2k+1)^{n-1} $$

با به توان رساندن این عدد می بینیم تمام جملات به جز جملات زیر حتما زوج هستند

$$ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n $$

پس عدد زوج است اگر و تنها اگر مجموع این عبارت عددی زوج باشد و در غیر اینصورت عددی فرد است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...