به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
39 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (392 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

تعداد ضریب‌های فرد دو جمله‌ای را در بسط $$ (x+y)^{1000} $$ به دست آورید. از طریق همنهشتی به پیمانه $2$ برای ترکیب $r$ شی از $1000$ شی وارد شدم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

$(x+y)^{1000}= \sum _{k=0}^{1000} \binom{1000}{k}x^ky^{1000-k}$

حالا باید بررسی کنیم که چند تعداد از اعداد $ \sum _{k=0}^{1000} \binom{1000}{k} $ که $0 \leq k \leq 1000$ چند تا است.

مسألۀ ساده ای نیست.N.J.Fine ریاضیدان در سال 1947 در ادامه کارهای سال 1878 ریاضیدان فرانسوی م.ا.لوکاس نشان داد که اگر $(n_sn_{s-1}...n_1n_0)_2$ نمایش در مبنای $2$ عدد $n$ باشد و $w(n)= \sum _{t=0}^sn_t$ آنگاه تعداد جملات فرد در بسط $ \binom{n}{k} $ برابر است با:

$2^{w(n)}$

در اینجا داریم:

$1000=(1111101000)_2 \Rightarrow w(1000)=6$

لذا $2^6=64$ جمله فرد و $1001-64=937$ جمله زوج داریم.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...