$(x+y)^{1000}= \sum _{k=0}^{1000} \binom{1000}{k}x^ky^{1000-k}$
حالا باید بررسی کنیم که چند تعداد از اعداد $ \sum _{k=0}^{1000} \binom{1000}{k} $ که $0 \leq k \leq 1000$ چند تا است.
مسألۀ ساده ای نیست.N.J.Fine ریاضیدان در سال 1947 در ادامه کارهای سال 1878 ریاضیدان فرانسوی م.ا.لوکاس نشان داد که اگر $(n_sn_{s-1}...n_1n_0)_2$ نمایش در مبنای $2$ عدد $n$ باشد و $w(n)= \sum _{t=0}^sn_t$ آنگاه تعداد جملات فرد در بسط $ \binom{n}{k} $ برابر است با:
$2^{w(n)}$
در اینجا داریم:
$1000=(1111101000)_2 \Rightarrow w(1000)=6$
لذا $2^6=64$ جمله فرد و $1001-64=937$ جمله زوج داریم.
$ \Box $
