تشکیل زوج بین چند زن و مرد

Question

$8$ مرد و $7$ زن به چند طریق میتوانندتشکیل $7$ زوج (زن و شوهر ) بدهند؟

آیا تعدا راهها میتواند برابر $c \binom{7}{1} c \binom{8}{1} $ باشد یا خیر؟

Comments

به نظر من باید $8!$ جواب باشه.

---

@علوی چیزی که شما محاسبه کرده‌اید انتخاب یک زوج از این جمع است نه تعداد حالت‌های انتخاب ۷ زوج. پاسخ @Under+sky درست می‌باشد.

Answer 1

پاسخ ویرایش شد. به نظرم باید هفت زوج در نظر گرفت و برای هر کدوم یک زن و یک مرد انتخاب کرد:

$$ \binom{8}{1}\binom{7}{1}\binom{7}{1}\binom{6}{1}\binom{6}{1}\binom{5}{1}\binom{5}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} $$

البته با استدلال دیگری هم می توان به جواب بالا دست یافت:

واضح است که حتما یکی از مرد ها مجرد خواهد ماند پس ابتدا این مرد را انتخاب می کنیم.حالا تعداد انتخاب برای هر زن و مرد هر زوج یکسان است و با انتخاب شش زوج، زوج آخر مشخص خواهد شد:

$$ \binom{8}{1}\binom{7}{1}^2\binom{6}{1}^2\binom{5}{1}^2\binom{4}{1}^2\binom{3}{1}^2\binom{2}{1}^2 $$

می توان از روشی دیگر هم این سوال را حل کرد:

هشت جایگاه فرضی در نظر بگیرید که هر کدام معرف یک زوج باشند.کافی است ابتدا مرد ها و سپس زن ها را در این جایگاه ها مرتب کنیم که مسلم است یک جایگاه تنها حاوی یک مرد خواهد بود پس پاسخ برابر است با:

$$ 8! \times 7! $$

---

ویرایش: همونطور که @AmirHosein اشاره کردن در پاسخ قبلی برای زوج ها ترتیب در نظر گرفته بودم که نادرست است. پس برای در نظر نگرفتن ترتیب می توان پاسخ قبلی را به $7!$ تقسیم کرد و یا اینکه از ابتدا بوسیله انتخاب شوهر هر خانم مسئله را حل کرد و به هر حال پاسخ برابر $8!$ است.

Comments

با تشکر درست می فرمایید من براش ترتیب هم در نظر گرفتم. پس باید با محاسبه ترتیب پاسخ آخر رو به 7! تقسیم کنم یا اینکه از ابتدا شوهر هر خانم رو انتخاب کنیم که پاسخ 8! میشه.