به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
459 بازدید
در دبیرستان توسط علوی (136 امتیاز)

$8$ مرد و $7$ زن به چند طریق میتوانندتشکیل $7$ زوج (زن و شوهر ) بدهند؟

آیا تعدا راهها میتواند برابر $c \binom{7}{1} c \binom{8}{1} $ باشد یا خیر؟

توسط Under sky (595 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin
+2
به نظر من باید $8!$ جواب باشه.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@علوی چیزی که شما محاسبه کرده‌اید انتخاب یک زوج از این جمع است نه تعداد حالت‌های انتخاب ۷ زوج. پاسخ @Under+sky درست می‌باشد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amirabbas (1,345 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

پاسخ ویرایش شد. به نظرم باید هفت زوج در نظر گرفت و برای هر کدوم یک زن و یک مرد انتخاب کرد:

$$ \binom{8}{1}\binom{7}{1}\binom{7}{1}\binom{6}{1}\binom{6}{1}\binom{5}{1}\binom{5}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} $$

البته با استدلال دیگری هم می توان به جواب بالا دست یافت:

واضح است که حتما یکی از مرد ها مجرد خواهد ماند پس ابتدا این مرد را انتخاب می کنیم.حالا تعداد انتخاب برای هر زن و مرد هر زوج یکسان است و با انتخاب شش زوج، زوج آخر مشخص خواهد شد:

$$ \binom{8}{1}\binom{7}{1}^2\binom{6}{1}^2\binom{5}{1}^2\binom{4}{1}^2\binom{3}{1}^2\binom{2}{1}^2 $$

می توان از روشی دیگر هم این سوال را حل کرد:

هشت جایگاه فرضی در نظر بگیرید که هر کدام معرف یک زوج باشند.کافی است ابتدا مرد ها و سپس زن ها را در این جایگاه ها مرتب کنیم که مسلم است یک جایگاه تنها حاوی یک مرد خواهد بود پس پاسخ برابر است با:

$$ 8! \times 7! $$

ویرایش: همونطور که @AmirHosein اشاره کردن در پاسخ قبلی برای زوج ها ترتیب در نظر گرفته بودم که نادرست است. پس برای در نظر نگرفتن ترتیب می توان پاسخ قبلی را به $7!$ تقسیم کرد و یا اینکه از ابتدا بوسیله انتخاب شوهر هر خانم مسئله را حل کرد و به هر حال پاسخ برابر $8!$ است.

توسط amirabbas (1,345 امتیاز)
+2
با تشکر درست می فرمایید من براش ترتیب هم در نظر گرفتم. پس باید با محاسبه ترتیب پاسخ آخر رو به 7! تقسیم کنم یا اینکه از ابتدا شوهر هر خانم رو انتخاب کنیم که پاسخ 8! میشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...