مسئله زیر را درنظر بگیرید:
n نفر به چند حالت قادر هستند ماشین های خود را با هم عوض کنند به صورتی که ماشین هیچ کس دست خودش نباشد؟
پس از استفاده از اصل شمول و عدم شمول پاسخ زیر حاصل می شود:
$$ n! - \binom{n}{1}(n-1)! + \binom{n}{2}(n-2)! + ... + \binom{n}{n} $$
با بسط دادن عبارت بالا و فاکتور گیری از $n!$ خواهیم داشت:
$$ n!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}) $$
با توجه به بسط مک لورن $e^x$ در برخی کتب مقدار بالا را با مقدار زیر جایگزین می کنند:
$$ [n!e^{-1}] = [\frac{n!}{e}] $$
در مسائلی دیگر مانند تعداد مسیر های گراف کامل با روشی مشابه بالا به پاسخ $[(p-2)!e]$ می رسیم.
جالب اینه که به دلیلی که نمی دونم درست میشه.مشکل اینجاست که n هرچه باشد پرانتز بالا متناهی است ولی بسط تیلور نامتناهی و طبعا باید مقداری اختلاف با جواب واقعی وجود داشته باشد چرا این مقدار همیشه از یک کمتر است بطوریکه استفاده از جزء صحیح ما را به جواب دقیق می رساند؟این که مقدار خطا کوچیکه به صورت شهودی قابل درکه ولی اصلا چرا همیشه از مقدار واقعی بیشتره که جزء صحیح مارو به جواب می رسونه چرا کمتر از جواب واقعی نیست؟ و دیگه این که آیا با اطمینان کامل میشه گفت روش هایی از این قبیل درست هستند یا نه؟
