آقای @fardina از تصویر کردن استفاده کردند. روش دیگر این است که یک راست از خود تعریف فاصلهٔ نقطه از صفحه برویم.
فاصلهٔ یک نقطه از یک صفحه را چه چیزی تعریف میکنید؟ خطهای زیادی از این نقطه میتوانید بگذرانید، هر یک از این خطها این صفحه را در نقطهای قطع میکنند غیر از آنهایی که موازی میشوند. درازای پارهخطهای تولید شده بوسیلهٔ این خطها و نقطهٔ مورد نظر و نقطهٔ تلاقی با صفحه را در نظر میگیریم (برای خطهای موازی اندازه را بینهایت بگیرید). کمترین درازا متعلق به خط عمود است. این اندازه را به عنوان فاصلهٔ نقطهمان از صفحهمان برداشتیم. پس خیلی راحت از تعریف برمیآید که برویم خط گذرا از این نقطه و عمود بر صفحه را پیدا کنیم و با صفحه تلاقی دهیم. آنگاه پرسش تبدیل میشود به یافتن فاصلهٔ بین دو نقطه که انتظار میرود پیش از پرداختن به بحث فاصلهٔ نقطه از صفحه به آن یعنی فاصلهٔ دو نقطه پرداختهباشید.
توجه کنید که زمانیکه معادلهٔ یک صفحه را دارید بردار نرمال آن را نیز دارید. در واقع اگر معادلهٔ آن
$ax+by+cz=d$
است آنگاه بردار نرمال آن
$(a,b,c)$
است. نقطهمان را
$A=(x_0,y_0,z_0)$
فرض کنید. چون میخواهیم خطمان موازی بردار نرمال صفحه شود کافیست بردار هادی خط را همان بردار نرمال صفحه برداریم. معادلهٔ خط گذرا از
$A$
و
عمود بر صفحهمان برابر میشود با
$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}=t$
میتوانید از متغیر کمکی
$t$
استفاده نکنید ولی مقدار نوشتنها و طول عباراتتان بیشتر میشود. پس توجه کنید که
$t$
در اینجا تنها یک کمککننده است.
اکنون خط را با صفحه قطع میدهیم.
$$\begin{array}{l}
x=at+x_0,y=bt+y_0,z=ct+z_0\\
a(at+x_0)+b(bt+y_0)+c(ct+z_0)=d\\
(a^2+b^2+c^2)t=d-ax_0-by_0-cz_0\\
t=\dfrac{d-ax_0-by_0-cz_0}{a^2+b^2+c^2}
\end{array}$$
اکنون نقطهٔ
$B$
برابر
$(at+x_0,bt+y_0,ct+z_0)$
است که مقدار
$t$
را در رابطهٔ آخر دادیم. توجه کنید که اگر متغیر کمکی
$t$
را به کار نمیبردیم میبایست
$y$
و
$z$
را برحسب
$x$
از فرمول خط درمیآوردیم و سپس در فرمول صفحه میگذاشتیم و یک معادله یک مجهول بر حسب
$x$
حل میکردیم و سپس نقطهٔ
$B$
را میدادیم که کمی نوشتن بیشتری میخواست.
به گام نهایی یعنی محاسبهٔ فاصلهٔ نقطهٔ
$A$
و
$B$
رسیدیم.
$$\begin{array}{lll}
|AB| & = & \sqrt{(x_0-at-x_0)^2+(y_0-bt-y_0)^2+(z_0-ct-z_0)^2}\\
& = & \sqrt{(a^2+b^2+c^2)t^2}\\
& = & \sqrt{\dfrac{(d-ax_0-by_0-cz_0)^2}{a^2+b^2+c^2}}\\
& = & \dfrac{|d-ax_0-by_0-cz_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\end{array}$$
که عبارت آخر به خاطر قدرمطلق فرقی با
$\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
ندارد. بعلاوه توجه کنید که قدرمطلق به خاطر این است که فاصله را همواره مقداری نامنفی میگیریم پس زمانی که از یک عدد مجذور جذر گرفتیم برای فاصله فقط مقدار مثبت را پذیرفتیم.
