نوشتن عددهای ۱ تا ۹ دور دایره به طوریکه عددهای پشت سر هم کنار هم نباشند.

Question

می خواهیم اعداد ۱ تا ۹ را دور یک دایره بنویسیم به طوری که عددهای پشت سر هم کنار هم نباشند. به چند روش می توانید این کار را انجام دهید؟

Comments

برای حل این سؤال می توانید از کل حالتی که می توان 9 عدد را کنار هم چید یعنی (9-1)!تعداد حالت هایی که امکان دارد دو عدد متوالی کنار هم قرار گیرند کم کرد و برای پیدا کردن کل حالت هایی که دو عدد متوالی کنار هم قرار گیرند میتوانید از اصل شمول و عدم شمول استفاده کنید.

---

من اینطوری گفتم که اعداد ۱ تا ۵ را به ۲ روش می توان دور یک دایره نوشت به طوریکه عددهای پشت سر هم کنار هم نباشند. برای اعداد ۱ تا ۶ از هر حالت قبل ۳ حالت جدید به دست می آید یعنی ۶ حالت داریم. برای اعداد ۱ تا ۷ از هر حالت قبل ۴ حالت جدید به دست می آید یعنی ۶×۴=۲۴ حالت داریم. به همین ترتیب برای اعداد ۱ تا ۸ داریم ۲۴×۵=۱۲۰. برای اعداد ۱ تا ۹ نیز از هر حالت قبل ۶ حالت به دست می آید یعنی ۱۲۰×۶=۷۲۰. آیا این روش درست است؟

---

شما باید این متن رو در دیدگاه یا در زیر پرسشتون به عنوان تلاش برای حل می آوردید. خیلی خوبه که روی مساله فکر کردید. ولی قسمت پاسخ به سوال برای وقتیه که مطمئن هستید دارید یک پاسخ کامل و  درست با جزییات میفرستید. هر وقت مطمئن شدید میتونید به سوال خودتون پاسخ بدید و ارسال کنید.

Answer 1

این سوال را با یک استدلال منطقی حل می‌کنیم اما اگر در این استدلال اشکالی یافتید، در دیدگاهتان مطرح کنید تا پاسخ خود را ویرایش کنم. می‌دانیم که تعداد حالت‌های چیدن $n $ شئ دور یک دایره(و هر مسیر بسته‌ی دیگر) برابر $(n-1)!$ می‌باشد(البته به شرطی که نام گذاری صورت نگرفته باشد مانند همین پرسش). زیرا برای اولین شئ فقط یک حالت وجود دارد. کل حالت ها برابر $8! $ است. ما حالت‌های نامطلوب را می‌شماریم و از کل حالت‌ها کم می‌کنیم تا حالت‌های مطلوب به دست بیاید(اصل متمم). برای شمردن حالت‌های نامطلوب، ابتدا اعدا پشت سر هم را در گروه های ۳ تایی دسته بندی می‌کنیم.(گروه اول ۱،۲،۳ گروه دوم ۴،۵،۶ و گروه سوم ۷،۸،۹) یعنی ما ۳ بسته داریم که درون هر کدام ۳ عدد وجود دارد. خب این سه بسته را مانند سه شئ در نظر گرفته و آن‌ها را جایگشت می‌دهیم. با توجه به بسته بودن مسیر(دایره) تعداد جایگشت‌های این سه شئ(بسته های سه تایی!) تعداد کل حالت‌ها برابر$ 2! $ می‌باشد. اما ما باید جایگشت اشیاء درون بسته را نیز حساب کنیم. هر بسته ۳ عدد دارد و جایگشت اعداد درون هر بسته $3! $ است. در نتیجه خواهیم داشت: $$\bbox [yellow,5pt,border:2px solid black]{8!-(2!×3×3!)}$$ در نتیحه جواب برابر: $ 40284 $ می‌باشد.

Comments

@Sina Moradiدو فاکتوریل بابد ضرب بشه نه جمع

---

@fardinffa بله، تصحیح شد