اگر $f, g$اندازه پذیر و$ f=g$ تقربیا همه جا ، آنگاه $ \int fd \mu = \int gd \mu $

Question

اگر $ f,g:X \longrightarrow[0, \infty ] $ اندازه پذیر و $f $تقربیا همه جا برابر$ g $باشد آنگاه $ \int fd \mu = \int gd \mu $ می باشد.

Answer 1

ابتدا قضیه زیر را به یاد آورید:

اگر $ f:X\to[0,\infty] $ اندازه پذیر باشد در اینصورت: $$ \int fd\mu=0 \Leftrightarrow f=0\ \ a.e $$ .

اگر $ f=g\ \ a.e $ آنگاه $ f-g=0\ \ a.e $ ولذا $ \vert f-g\vert =0\ \ a.e $ و چون $ \vert f-g\vert $ اندازه پذیر و مثبت است لذا از قضیه بالا نتیجه می شود $\int\vert f-g\vert d\mu=0 $ .

از طرفی قضیه زیر را داریم:

$$ \vert \int(f-g)d\mu\vert\leq \int\vert f-g\vert d\mu $$

و چون سمت راست عبارت فوق صفر است لذا سمت چپ هم صفر بوده و گزاره شما نتیجه می شود.

با همین استدلال می توان این گزاره را برای توابع $ f,g\in L^1(X) $ که تقریبا همه جا برابرند نشان داد.