ابتدا با اتحاد های مثلثاتی که اطلاع داریم. تابع درون براکت را ساده میکنیم :
$$ \tan 2x =\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$$
$$\sin 2x =2\cos x\sin x$$
$$\dfrac{\tan 2x}{\sin x}=\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$$
حال توجه کنید که که در همسایگی $ x=0 $ داریم :
$$ 2 \leq \dfrac{2\cos x}{\cos 2x}< 3$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$\lim_{x\to 0} \left\lfloor \dfrac{\tan 2x}{\sin x} \right\rfloor=
\lim_{x\to 0}\left\lfloor\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}\right\rfloor=2 $$
نابرابری زیر چگونه اثبات میشود؟
$$ 2 \leq \dfrac{2\cos x}{\cos 2x}< 3$$
تابع زیر را در نظر بگیرید :
$$f: (\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$$
$$f(x)=\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$$
از تابع مشتق میگیریم :
$$f'(x)=2\frac{-\sin x\cos2x+2\cos x\sin2x}{\cos^22x}=
2\frac{\sin x(2\cos^2x+1)}{\cos^22x}$$
همینطور که واضع است نقطه $x=0$ بحرانی است .چرا؟( چون تابع مشتق را صفر میکند )
و در همسایگی $x=0$ تابع مشتق را تعیین علامت کنیم :
همسایگی راست تابع مشتق $+ \Longleftarrow $
همسایگی چپ تابع مشتق $+ \Longleftarrow $
در نتیجه تابع در $f$ در نقطه $(0,f(0))$ مینیمم موضعی است .
در نتیجه در همسایگی $x=0$ خواهیم داشت :
$$2\le f(x)< 3$$
