حد مثلثاتی: $\lim_{x \rightarrow 0}[ \frac{\tan2x}{\sin x} ]$

Question

حد زیر را حساب کنید. ([ ] نماد جز صحیح یا براکت است)

$$\lim_{x \rightarrow 0}[ \frac{\tan2x}{\sin x} ]$$

Comments

استفاده کنید :

$$\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$$
$$\sin 2x =2\sin x\cos x$$

$$\dfrac{\tan 2x}{\sin x}=\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$$

---

با این توضیحات جواب داخل براکت میشه دوی منفی در نتیجه جواب حد میشه یک ولی جواب این حد برابر دو هست

Answer 1

ابتدا با اتحاد های مثلثاتی که اطلاع داریم. تابع درون براکت را ساده میکنیم :

$$\tan 2x =\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$$

$$\sin 2x =2\cos x\sin x$$

$$\dfrac{\tan 2x}{\sin x}=\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$$ حال توجه کنید که که در همسایگی $x=0$ داریم :

$$2 \leq \dfrac{2\cos x}{\cos 2x}< 3$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0} \left\lfloor \dfrac{\tan 2x}{\sin x} \right\rfloor= \lim_{x\to 0}\left\lfloor\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}\right\rfloor=2$$

---

نابرابری زیر چگونه اثبات میشود؟

$$2 \leq \dfrac{2\cos x}{\cos 2x}< 3$$

تابع زیر را در نظر بگیرید :

$$f: (\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$$ $$f(x)=\dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$$

از تابع مشتق میگیریم :

$$f'(x)=2\frac{-\sin x\cos2x+2\cos x\sin2x}{\cos^22x}= 2\frac{\sin x(2\cos^2x+1)}{\cos^22x}$$

همینطور که واضع است نقطه $x=0$ بحرانی است .چرا؟( چون تابع مشتق را صفر میکند )

و در همسایگی $x=0$ تابع مشتق را تعیین علامت کنیم :

همسایگی راست تابع مشتق $+ \Longleftarrow$

همسایگی چپ تابع مشتق $+ \Longleftarrow$

در نتیجه تابع در $f$ در نقطه $(0,f(0))$ مینیمم موضعی است .

در نتیجه در همسایگی $x=0$ خواهیم داشت :

$$2\le f(x)< 3$$