می توانید از این قضیه استفاده کنید:
اگر $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ در نقطه $c\in\mathbb R^n$ مشتقپذیر باشد و $u=(u_1,\cdots, u_n)\in\mathbb R^n$ بردار دلخواه در اینصورت مشتق سویی $f$ در $c$ نسبت به راستای $u$ یعنی $D_uf(c)$ موجود است و $$D_uf(c)=Df(c)(u)$$
و در حالت خاص از قضیه فوق نتیجه می شود اگر $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ در اینصورت
$$D_uf(c)=u_1D_1f(c)+\cdots + u_nD_nf(c)$$
در اینجا هم $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ با ضابطه $f(x,y)=xye^{-xy}$ داده شده است و $D_{(1,1)}f(1,-1)$ را میخواهیم محاسبه کنیم:
$$\begin{align}D_{(1,1)}f(1,-1)&=1D_1f(1,-1)+1D_2f(1,-1)\\
&=(ye^{-xy}-xy^2e^{-xy})|_{(1,-1)}+(xe^{-xy}-x^2ye^{-xy})|_{(1,-1)}\\
&=(-e-e)+(e+e)=0\end{align}$$
ویرایش بعد از دیدگاه:
خوب روش دوم به کمک رابطه ای که به آن اشاره کردید:
$$D_uf(p)=\frac{\partial f(p)}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f(p)}{\partial y}\cos\beta$$
چون $\cos\alpha=\cos\beta$ و $\frac{\partial f(1,-1)}{\partial x}=ye^{-xy}-xy^2e^{-xy}|_{(1,-1)}=-2e$ و $\frac{\partial f(1,-1)}{\partial y}=xe^{-xy}-x^2ye^{-xy}|_{(1,-1)}=2e$ باز هم جواب برابر صفر خواهد بود.
