Question

تمام اعداد طبیعی را بیابید که $b^a=a^{b^2}$.

Answer 1

اگر $a=b$ نتیجه میشود $a=b=1$

اگر $a>b$ بزرگ ترین $n$ طبیعی را پیدا میکنیم که $x$ طبیعی وجود داشته باشد که $a=b^nx$ ( $x$ بر $b$ بخش پذیر نیست ) با جایگذاری در معادله خواهیم داشت :

$$x^{b^2}=b^{b^nx-nb^2}$$ اگر $x=1$ باشد . $n$ را برابر $1$ تا $4$ قرار دهیم پاسخ های $a=27 ، b=3 ,,, a=16، b=2$ یدست آید . با استقرا میتوان ثابت کرد برای $n$ های بزرگتر $b^{n-2}>n+1$ خواهد بود .

اگر$x>1$ باشد به راحتی معلوم میشود $a>1$ وجود دارد که $x^a=b$ پس باید $b^nx-b^2n-b^2<0$ باشد یعنی $b^{n-2}x<n+1$ چون $x$ و $b$ هر دو بزرگتر از یک هستند پس $n=x=2$ (برای $n$ های بزرگتر با استقرا میتوانیم ثابت کنیم نامساوی جواب ندارد ) که با جایگذاری در $x^{b^2}=b^{b^nx-nb^2}$ نتیجه میدهد $b=0$

اگر $b>a$ باشد هم به همین صورت میتوان فهمید جوابی نخواهیم داشت .

Comments

از کجا فهمیدید که اگر $a>b$ انگاه $b \mid a$؟

---

در $a^x=b^y$ فرض میکنیم $a>b$ ، $a$ و $b$ را به عوامل اول تجزیه میکنیم . (عوامل اول $a$ و $b$ یکسان اند و فقط توان های متفاوتی دارند ) اگر $a= q_{1} ^ {c_{1}} . q_{2} ^{ c_{2} }... q_{n} ^ {c_{n}} $ و $b= q_{1}^{ d_{1} } ... q_{n}^{ d_{n} } $ نتیجه میشود

 $q_{1} ^ {c_{1}x} . q_{2} ^{ c_{2}x }... q_{n} ^ {c_{n}x}=q_{1}^{ d_{1}y } ... q_{n}^{ d_{n}y }$

حال میتوان فهمید نسبت توان ها برابر است (یعنی مثلا $ \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{ d_{2} } $ ) پس اگر یکی از توان های عوامل $a$ بیشتر از توان همان عامل در $b$ باشد همه توان های عوامل $a$ بیشتر از توان های عوامل $b$ خواهد بود . چون $a>b$ پس چنین میباشد .