یک متر روی مجموعه تمام اندازه های علامت دار

Question

فرض کنید$M(X)$ مجموعه تمام اندازه های علامت دار$ \nu$ روی سیگما جبر $M $باشد که$ | \nu |$ کراندار است ثابت کنید $d( \nu , \mu)= | \nu - \mu | (X)$ یک متر روی $M(X)$باشد.

Answer 1

اگر روی $M(X) $ تعریف کنید $$ \|\mu\|=|\mu|(X) $$ آنگاه $\|.\| $یک نرم است. اثبات نرم بودن این خیلی ساده است فقط برای نامساوی مثلثی باید از نکته زیر استفاده کنید:

اگر $ \nu_1 $ و $ \nu_2 $ دو اندازه علامت دار باشند آنگاه $ \vert \nu_1+\nu_2\vert\leq \vert \nu_1\vert+\vert \nu_2\vert $ .

و می دانیم که از روی هر نرم می توان یک متر به صورت $d(\mu,\nu)=\|\mu-\nu\| $ تعریف کرد.