یادآوری میکنیم که$ ( x,x) =( \parallel x \parallel _2 )^2 $ و همچنین برای هر $y$ داریم که $ ( y,y ) \geqslant 0 $ پس به ازای هر $a \in \mathbb C$ داریم
$ (x-ay,x-ay ) \geqslant 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (*)$
در سوال بالا اگر $y=0$ باشد حالت تساوی برقرار است و حکم ثابت است. حال فرض کنیم $y \neq 0$ ، تعریف میکنیم $a=\frac{(x,y)}{(y,y)}$ و با جایگذاری در $(*)$ وساده کردن داریم:
$0 \leqslant (x-ay,x-ay) = (x,x ) - a(x,y) - \overline{a} (x,y) +a^2(y,y) \quad \quad \qquad $
$=( \parallel x \parallel _2 )^2 - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} + \frac{|(x,y)|^2}{|(y,y) |^2} (y,y) $
پس از ساده کردن به نامعادله زیر میرسیم
$0 \ \leqslant (x,x ) - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} \Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant (x,x )(y,y) \qquad \qquad \qquad $
$\Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant ( \parallel x \parallel _2 )^2( \parallel y \parallel _2 )^2 \qquad \ \ \ \ $
با جذر گرفتن از طرفین به جواب مسئله میرسیم
$|(x,y)| \leqslant \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2 $
