چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
396 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

با استفاده از خواص ضرب داخلی نشان دهید:

$| ( x,y ) | \leq \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

یادآوری می‌کنیم که$ ( x,x) =( \parallel x \parallel _2 )^2 $ و همچنین برای هر $y$ داریم که $ ( y,y ) \geqslant 0 $ پس به ازای هر $a \in \mathbb C$ داریم

$ (x-ay,x-ay ) \geqslant 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (*)$

در سوال بالا اگر $y=0$ باشد حالت تساوی برقرار است و حکم ثابت است. حال فرض کنیم $y \neq 0$ ، تعریف می‌کنیم $a=\frac{(x,y)}{(y,y)}$ و با جایگذاری در $(*)$ وساده کردن داریم:

$0 \leqslant (x-ay,x-ay) = (x,x ) - a(x,y) - \overline{a} (x,y) +a^2(y,y) \quad \quad \qquad $

$=( \parallel x \parallel _2 )^2 - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} + \frac{|(x,y)|^2}{|(y,y) |^2} (y,y) $

پس از ساده کردن به نامعادله زیر می‌رسیم

$0 \ \leqslant (x,x ) - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} \Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant (x,x )(y,y) \qquad \qquad \qquad $

$\Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant ( \parallel x \parallel _2 )^2( \parallel y \parallel _2 )^2 \qquad \ \ \ \ $

با جذر گرفتن از طرفین به جواب مسئله می‌رسیم

$|(x,y)| \leqslant \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2 $

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

(با استفاده از کتاب بارتل)فرض کنیم $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد. در اینصورت با قرار دادن $z=ax-by, a,b\in\mathbb R$ داریم $$0\leq z.z=a^2x.x-2abx.y+b^2y.y$$ با قرار دادن $a=\|y\|, b=\|x\|$ داریم: $$\begin{align}0\leq& \|y\|^2\|x\|^2-2\|y\|\|x\|x.y+\|x\|^2\|y\|^2\\ &=2\|x\|\|y\|(\|x\|\|y\|-x.y)\end{align}$$

و چون $\|.\|\geq 0$ بنابر این از نامساوی بالا داریم $\|x\|\|y\|-x.y\geq 0$ و لذا نتیجه حاصل می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
84 نفر آنلاین
1 عضو و 83 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3663
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698703
...