به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
166 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

2 رقم سمت راست عدد $9^{8^{7^{6^{5^{.^{.^{.^{2}}}}}}}}$ را بدست آورید .

دارای دیدگاه توسط Taha1381
بنویسید $(100-19)^k$ بعد همه به جز اخری بر ۱۰۰ بخشپذیره پس باقیمانده این عدد برصد برابر است با باقیمانده $19^{2k}$ بر ۱۰۰ و ...
دارای دیدگاه توسط Taha1381
ایده کلی تر رو می تونید با استقرا ثابت کنید باقیمانده $k$ را بر ۱۰ در نظر بگیرید ۹ به توان $k$ در هر باقیمانده $k$ بر ۱۰ عدد خاص ثابتی را تولید می کند.
دارای دیدگاه توسط A Math L
$19^{2k}$  باقیماندش بر 100 چطور بدست میاد ؟ در مورد نظر دوم اگه میشه اثباتش رو هم بذارید .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
مثلا اگر $k=10m$ انگاه باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ برابر است با ۱ چون:

$(9^{10})^m$ دو رقم اخرش برابر ۱ است که در هر عدد ضرب بشه باز دو رقم اخرش ۱ است. برای $k$ های دیگر نیز همین کار را انجام دهید.حال فقط باید باقیمانده $k$ بر ۱۰ رو پیدا کنید که برای این کار باید باقیمانده توان ۸ رو بر ۴ پیدا کنید که به راحتی پیدا می شود سعی می کنم تا فردا جواب رو بزارم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

خوب امیدوارم از طولانی شدن پاسخ خسته نشوید.

باقمانده عدد $9^k$ بر صد به ازای هر باقیمانده $k$ بر ۱۰ عدد خاصی را تولید می کند.پس ما باقیمانده $k$ بر ۱۰ را پیدا می کنیم و باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ را به ازای اینگونه $k$ ها به دست می اوریم.

باقیمانده $8^a$ بر ۱۰ اگر باقیمانده $a$ بر ۴ بر ابر ۰ باشد برابر است با:

$8^{4b}=4096^b$

می دانیم اگر رقم یکان عددی ۶ باشد هر چند بار هم که عدد را به توان برسانیم باز هم رقم یکان ان ۶ است.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۱ باشد رقم یکان ان ۸ است چون:

$8^{4b+1}=4096^b*8$

که رقم یکان ان همواره برابر است با ۸.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۲ باشد رقم یکان ان برابر ۴ است چون:

$8^{4b+2}=4096^b*64$

که رقم یکان ان همواره برابر ۴ است.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۳ باشد انگاه رقم یکان ان همواره برابر ۲ است چون:

$8^{4b+3}=4096^b*512$

که رقم یکان ان همواره برابر ۲ است.

پس حال کافی است باقیمانده توان ۸ را بر ۴ بیابیم.

باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d$ همواره برابر ا است چون:

$7^{2d}=49^d=(48+1)^d$

اگر عبارت بالا را با بسط نیوتن بسط دهیم همهی جملات بر ۴ بخشپذیر خواهند بود به جز جمله اخر که مقدار ان برابر ۱ است.پس باقیمانده ان بر ۴ برابر ۱ می شود.

باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d+1$ همواره برابر است با ۳ چون:

$7^{2d+1}=7^d*7$

$=(4f+1)*7$

$=28f+7=4(7f+1)+3=4w+3$

می دانیم که توان ۷ در عبارت بالا عددی زوج است پس باقیمنده ان بر ۴ برابر است با ۱.و می دانیم باقیمانده $8^{4b+1}$ بر ۱۰ برابر است با ۸.

پس ما می خواهیم باقیمانده عبارت $9^{10k+8}$ را بر ۱۰۰ بیابیم

اگر k=10m انگاه باقیمانده 9k بر ۱۰۰ برابر است با ۱ چون:

$9^{10m}=(9^{10})^m=3486784401^m$

که به صورت $100k+1$ است که به هر توانی برسد طبق بسط نیوتن باقیمانده ان بر ۱۰۰ برابر است با ۱.

اگر $k=10m+8$ انگاه باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ برابر است با ۲۱ چون:

$9^{10m+8}=9^{10m}*9^8$

$=(100k+1)*43046721$

$=4304672100K+43046721$

$=100(43046721k+430467)+21=100n+21$

که نتیجه می دهد دو رقم اول ان برابر است با ۲۱.

دارای دیدگاه توسط A Math L
خیلی ممنون ولی اینکه با ماشین حساب بدست اومده ! این سوال تو یکی از آزمونا بوده فکر کنم راه ساده تری داشته باشه .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
خوب شاید بیشترین بخش ماشین حسابیش محاسبه $9^{10}$ باشه که میشه با دست هم محاسبه کرد.
دارای دیدگاه توسط A Math L
همه ضرب هارو میشه محاسبه کرد ولی  اینا وقتگیرن و کمتر کسی سوالی میده که توش نیاز به اینطور ضربایی باشه . شایدم منظور طراح سوال همین پاسخ بوده  شایدم یه راه ساده تر داره .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
اره به احتمال زیاد راه حل ساده تری وجود داره.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
52 نفر آنلاین
1 عضو و 51 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4578
بازدید دیروز: 4732
بازدید کل: 4867941
...