ساخت مجموعه های اندازه ناپذیر

Question

سلام. می خواستم درمورد "ساخت مجموعه های اندازه ناپذیر" تحقیق کنم,کتابای فولند,آلیپرانتیس,رویدن و رودین رو نگاه کردم اما همشون فقط درمورد اندازه پذیری توضیح دادنو از اندازه ناپذیری چیزی نگفتن,به کمکتون احتیاج دارم,ممنون میشم راهنماییم کنید

Answer 1

اگر دنبال مثال هایی از مجموعه های اندازه ناپذیر میگردید معمولا در همه ی کتاب های آنالیزی مثال معروف ویتالی رو آوردن. برای مثال فصل اول کتاب فولند (Real Analysis-Modern techniques and their applications" فصل اول در همون ابتدا به تشریح این مثال پرداخته:

یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R$ به صورت زیر تعریف کنید:

$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q$$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$\forall x,y\in\mathbb R, \quad \ \ [x]=[y]\quad or \ \ [x]\cap [y]=\emptyset$$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R$$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $\mathbb R$ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N$ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $N$ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N$ این خواص رو داره:

• $N$ ناشمارا است.

• $x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q$

• $\{[x]:x\in N\}$ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

• $\bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R$ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1$ یک عدد در بازه ی $[0,1)$ است به طوریکه $x=y+n$ برای یک عدد صحیح $n$ .

حال به جای هر $x\in N$ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $N$ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم:

$$\{ x\ mod\ 1: x\in N\}$$ . این $N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1)$ .

ادعا می کنیم که این $N$ جدید اندازه پذیر نیست!

اثبات: فرض کنیم اندازه پذیر باشد. در اینصورت کارهای زیر را انجام می دهیم:

فرض کنید $N_r$ انتقالی از $N$ به اندازه ی $r$ باشد و سپس از آن
$mod\ 1$ بگیرد تا $N_r$ داخل $[0,1)$ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید)

$$\begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$ حال مجموعه های $N_r$ برای $$r\in R=\mathbb Q\cap [0,1)$$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $N_r$ با $r\in R$ موجود است. حال داریم:

• مجموعه های $N_r$ که $r\in R$ مجموعه ی $[0,1)$ را می پوشانند.(چرا؟)

• مجموعه های $N_r$ که $r\in R$ مجزا هستند.(چرا؟)

بنابر دو نکته بالا داریم:

$$[0,1)=\bigcup_{r\in R}N_r$$ یک اجتماع شمارا از مجموعه های دو به دو مجزا! بنابراین داریم: $$1=m\big([0,1)\big)=m(\bigcup_{r\in R}N_r)=\sum_{r\in R}m(N_r)$$ اما از طرفی : $$m(N_r)=m(N)$$ .( چون $N_r$ فقط انتقالی از $N$ است)

بنابراین داریم: $1=\sum_{r\in R}m(N)$ .

اما مجموع سری در سمت راست می تواند صفر(اگر $m(N)=0$ ) و یا بینهایت( اگر $m(N)>0$ )باشد. پس در هر صورت یک تناقض است. لذا باید مجموعه $N$ اندازه پذیر نباشد.

توجه: در تمرینات اخر فصل اول کتاب فولند سوال 29 همچین تمرینی داریم:

فرض کنید $E$ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر باشد. اگر $m(E)>0$ باشد آنگاه $E$ شامل یک مجموعه اندازه ناپذیر است.

امیدوارم این مطلب کمکتون کنه.