اگر دنبال مثال هایی از مجموعه های اندازه ناپذیر میگردید معمولا در همه ی کتاب های آنالیزی مثال معروف ویتالی رو آوردن. برای مثال فصل اول کتاب فولند (Real Analysis-Modern techniques and their applications" فصل اول در همون ابتدا به تشریح این مثال پرداخته:
یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید:
$$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$
این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل:
$$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\
&=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\
&=\mathbb Q +x\end{align}$$
می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی:
$$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad \ \ [x]=[y]\quad or \ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$
و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند:
$$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ .
همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.
حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:
حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$
یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .
حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم:
$$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ .
این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .
ادعا می کنیم که این $ N $ جدید اندازه پذیر نیست!
اثبات: فرض کنیم اندازه پذیر باشد. در اینصورت کارهای زیر را انجام می دهیم:
فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید)
$$ \begin{align}
N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\
&=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\
&=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big)
\end{align}$$
حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.
واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:
مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند.(چرا؟)
مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)
بنابر دو نکته بالا داریم:
$$[0,1)=\bigcup_{r\in R}N_r $$
یک اجتماع شمارا از مجموعه های دو به دو مجزا! بنابراین داریم:
$$ 1=m\big([0,1)\big)=m(\bigcup_{r\in R}N_r)=\sum_{r\in R}m(N_r) $$
اما از طرفی :
$$m(N_r)=m(N) $$ .( چون $N_r $ فقط انتقالی از $N $ است)
بنابراین داریم: $ 1=\sum_{r\in R}m(N) $ .
اما مجموع سری در سمت راست می تواند صفر(اگر $ m(N)=0 $ ) و یا بینهایت( اگر $ m(N)>0$ )باشد. پس در هر صورت یک تناقض است. لذا باید مجموعه $ N $ اندازه پذیر نباشد.
توجه: در تمرینات اخر فصل اول کتاب فولند سوال 29 همچین تمرینی داریم:
فرض کنید $ E $ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر باشد. اگر $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $ E $
شامل یک مجموعه اندازه ناپذیر است.
امیدوارم این مطلب کمکتون کنه.
