اثبات نابرابری : $a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq (a+b)(ab-1)$

Question

با سلام و خسته نباشی خدمت دوستات واساتید :

نابرابری زیر چگونه اثبات میشود :

$$a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq (a+b)(ab-1)$$

$a,b\in \mathbb{R}^+$ با تشکر

Comments

شما اگر aرایک و b را نیز یک فرض کنید نامساوی درست نمی شود!

---

@good4us با تشکر ویرایش شد .

---

تغییری مشاهده نمیشه!

Answer 1

فرض کنید که :

$$a+b=2u$$ $$ab=v^2$$

با این تغییر ما باید ثابت کنیم که :

$$v^4(4u^2-2v^2-2)\geq(4u^2-2v^2)(v^2-1)$$

$$2u^2(v^4-v^2+1)\geq v^6+v^2.$$

توجه کنید که با توجه به اینکه که :

$$(a-b)^2\geq0$$ $$v^4-v^2+1>0$$

$$u^2\geq v^2$$

بنابراین کافی است اثبات کنیم که :

$$2v^2(v^4-v^2+1)\geq v^6+v^2$$

که برابر است با :

$$v^2(v^2-1)^2\geq0$$ $ \Box .$

Answer 2

فرض کنید که :

$ab=x$, $a^2+b^2=y$ در نتیجه :

$$0\leq 2x\leq y\tag{1}$$ $$x^2(y-2)\geq y(x-1)$$ $$x^2y-2x^2\geq xy-y$$ $$y\geq\frac{2x^2}{x^2-x+1}$$

با توجه به رابطه $(1)$ خواهیم داشت :

$$2x\geq\frac{2x^2}{x^2-x+1}$$ $$x^2-x+1\geq x$$ $$(x-1)^2\geq0$$

برابری زمانی است که :

$a=b=1$.