مشکل این استدلال چیست؟

Question

$$ f(x) = 4 $$ $$ g(x) = 3 $$

$$ (f(x)g(x))' = g(x)f'(x) + f(x)g'(x) $$ $$\begin{align} f(x)g(x) =& \int{g(x)f'(x)dx} + \int{f(x)g'(x)dx}\\=&\int{3f'(x)dx} + \int{4g'(x)dx}\\=&3\int{f'(x)dx} + 4\int{g'(x)dx}\\=&3(f(x) + c_1) + 4(g(x) + c_2) \end{align} $$

با توجه به فرضمان $c_1 = c_2 = 0$پس نتیجه می شود $$12 = 24$$

Comments

از کجا فرض شده $c_1=c_2=0$؟ این ثابت‌ها پس از انتگرال گرفتن ایجاد شده‌اند، قبلش اصلا نبوده‌اند که بخواهید در پرسش فرضشان کنید.

---

در ضمن سمت چپ که از $(fg)'$ انتگرال گرفته‌اید نیز برای خودش ثابت دارد.

Answer 1

اشتباه شما اینجاست که $\int f'(x)dx=f(x)+c$ ولی شما ثابت را جای انداخته‌اید.

Comments

@AmirHosein
پرسسش رو ویرایش کردم که منظورم رو دقیقا بگم.تا الان فکر می کردم ثابتی که در انتگرال نامعین در نظر گرفته میشه به خاطر اینه که ما خبر نداریم از چه تابعی مشتق گرفته شده.یعنی اگر از یک تابع کاملا مشخص هم مشتق بگیریم و بعد از آن انتگرال بگیریم نمی توانیم بگوییم حاصل با آن تابع موردنظر ما برابر است؟ یعنی مفهوم تابع اولیه با آن تابعی که از آن مشتق گرفته ایم فرق دارد؟ اگر داشته باشیم:
$$ f(x) = 2 $$
$$ f'(x) = 0 $$
$$\int{f'(x)dx} =  \int{0dx} = c$$

نمی توانیم با توجه به فرضمان نتیجه بگیریم $c=2$ ؟

---

@amirabbas اشتباه فکر می‌کردید. با فرض اینکه بدانید تابع اولیه چه هست تازه می‌توانید بنویسید F بعلاوهٔ یک ثابت. اگر ندانید تابع اولیه چه هست که باید انتگرال را همان‌گونه نگه دارید. مقدار ثابت نیز در صورتی که ابتدا و انتهای بازهٔ انتگرال را مشخص نکرده‌اید یک عدد ثابت نیست بلکه یک پارامتر است. با تغییر ابتدا و انتهای بازهٔ انتگرال‌گیری مقدار ثابت متفاوت خواهد بود. بعلاوه اینکه بگوئید انتگرالِ مشتقِ یک تابع برابر خودش می‌شود اشتباه است. برای نمونه $x+1$ و $x+2$ مشتق یکسان دارند، اگر قرار می‌بود انتگرال مشتقشان خودشان شود که تناقض ساخته می‌شد. اگر قضیهٔ مربوط به تابع اولیه را درست نگاه کنید می‌گوید $\int_a^b f'(x)dx= f(b)-f(a)$.  حالا اگر به جای $x$ از نماد $t$ استفاده کنید و به جای $a$ صفر و به جای $b$ ایکس بگذارید، خواهید داشت:
$\int_0^x f'(t)dt=f(x)-f(0)$ اکنون می‌بینید که آن $+c$ از کجا آمده است! در واقع چیزی نیست به جز $-f(0)$.