Question

کلمه mississippi چند جایگشت 7 حرفی دارد؟

Comments

چند تا نمونه از این پرسش تا به کنون دیده‌اید؟ اگر چند دقیقه زمان بگذارید و دو سه نمونه از این پرسش‌ها را نگاه کنید و سپس خودتان پرسشتان را پاسخ دهید بهتر از این است که بدون هیچ تلاشی یک ضرب از دیگران بپرسید. چه اقدامی خودتان تا کنون برای حل این پرسش کرده‌اید؟

Answer 1

یک روش برای حل این سوالات حالت گیری بر اساس تعداد حروف تکراری است.برای مثال این پرسش رو ببینید.

اما با افزایش تعداد جایگاه و حروف تکراری حالت گیری کردن مشکل و طاقت فرسا می شود.می توان از روشی دیگر برای این سوالات استفاده کرد.فرض کنید 7 حرف بکار رفته در کلمه را می دانستیم.برای مثال می خواهیم تعداد کلمات حاصل از جایگشت miisssp را پیدا کنیم.می دانیم این تعداد برابر با $\frac{7!}{2!3!}$ است.اما کلماتی که از این جایگشت حاصل می شوند تنها بخشی از جواب مسئله ما هستند و باید به ازای هر گروه 7 تایی از حروف عبارتی مثل $\frac{7!}{2!3!}$ را محاسبه و سپس تمام آن ها جمع کنیم تا به جواب برسیم.اما چیزی که برای ما اهمیت دارد این است که در پایان پاسخ چیزی شبیه این خواهد شد:

$$ (\frac{7!}{2!3!} + .... ) = 7!(\frac{1}{2!3!} + ...) $$

تابع مولد ابزار زیبایی است که می توانیم با کمک آن مجموع تمام عبارات داخل پرانتز را بدون حالت گیری محاسبه کنیم.این پرسش رو مطالعه کنید.با روشی مشابه می توان توجیه کرد پاسخ مسئله ما متناظر با ضریب $\frac{x^7}{7!}$ در تابع زیر است که آن را تابع مولد نمایی می گویند:

$$ f(x) = (1 + x)(1 + x + \frac{x^2}{2!})(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!})^2 $$

بیان این موضوع با توابع مولد از آن جهت مفید است که اولا الگوریتمی منسجم برای محاسبه در اختیار داریم و ثانیا قضایای مفیدی وجود دارد که به ما کمک می کنند ضریب جمله مورد نظر را با محاسباتی کمتر از ضرب کردن چندجمله ای ها بدست آوریم.برای آشنایی بیشتر با ابن توابع میتوانید به منابعی که در این پرسش نوشته شده مراجعه کنید.کتاب رایگان generatingfunctionology هم شامل مباحث گسترده تری در خصوص توابع مولد است.

Answer 2

\binom{11}{7} 7! تقسیم بر !4!!4*!2

Comments

این روش درست نیست. چون نمیدانیم 7 حرفی که انتخاب میکنیم شامل چه نوع تکراری هستند.

---

خب اگه مخرج  !4!!4*!2 باشه، حالت های تکراریو حساب نمیکنه؟   @amirabbas

---

@kimia.hejrati
$4!4!2!$ با این فرض درست است که 2 حرف p چهار حرف i و چهار حرف s در کلمه بکار رفته باشد.پس با تقسیم $11!$ بر این عدد می توانید تعداد جایگشت های 11 حرفی این کلمه را بدست آورید.ولی زمانی که می خواهیم جایگشت های 7 حرفی را محاسبه کنیم نمی دانیم تعداد حروف تکراری در این 7 حرف چگونه است و درستی فرض مشخص نیست.