یک روش برای حل این سوالات حالت گیری بر اساس تعداد حروف تکراری است.برای مثال این پرسش رو ببینید.
اما با افزایش تعداد جایگاه و حروف تکراری حالت گیری کردن مشکل و طاقت فرسا می شود.می توان از روشی دیگر برای این سوالات استفاده کرد.فرض کنید 7 حرف بکار رفته در کلمه را می دانستیم.برای مثال می خواهیم تعداد کلمات حاصل از جایگشت miisssp را پیدا کنیم.می دانیم این تعداد برابر با $\frac{7!}{2!3!}$ است.اما کلماتی که از این جایگشت حاصل می شوند تنها بخشی از جواب مسئله ما هستند و باید به ازای هر گروه 7 تایی از حروف عبارتی مثل $\frac{7!}{2!3!}$ را محاسبه و سپس تمام آن ها جمع کنیم تا به جواب برسیم.اما چیزی که برای ما اهمیت دارد این است که در پایان پاسخ چیزی شبیه این خواهد شد:
$$ (\frac{7!}{2!3!} + .... ) = 7!(\frac{1}{2!3!} + ...) $$
تابع مولد ابزار زیبایی است که می توانیم با کمک آن مجموع تمام عبارات داخل پرانتز را بدون حالت گیری محاسبه کنیم.این پرسش رو مطالعه کنید.با روشی مشابه می توان توجیه کرد پاسخ مسئله ما متناظر با ضریب $\frac{x^7}{7!}$ در تابع زیر است که آن را تابع مولد نمایی می گویند:
$$ f(x) = (1 + x)(1 + x + \frac{x^2}{2!})(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!})^2 $$
بیان این موضوع با توابع مولد از آن جهت مفید است که اولا الگوریتمی منسجم برای محاسبه در اختیار داریم و ثانیا قضایای مفیدی وجود دارد که به ما کمک می کنند ضریب جمله مورد نظر را با محاسباتی کمتر از ضرب کردن چندجمله ای ها بدست آوریم.برای آشنایی بیشتر با ابن توابع میتوانید به منابعی که در این پرسش نوشته شده مراجعه کنید.کتاب رایگان generatingfunctionology هم شامل مباحث گسترده تری در خصوص توابع مولد است.
