ترکیب دو تابع اندازه پذیر

Question

اگر $f : X \rightarrow Y $ و $g :Y \rightarrow Z $ دو تابع اندازه پذیر باشند، آیا ترکیب این دو تابع یعنی $ gof:X \rightarrow Z $ اندازه پذیر است؟ $X$ و $ Y $ اندازه پذیر هستند و $Z$ فضای توپولوژیکی است.

ویرایش:

لطفا مراحل اثباتش رو میخواستم. اگر $f$ و $g$ هر دو اندازه پذیر باشند. فر ض میکنیم که $ V $ مجموعه ای باز در فضای $Z$ باشد. طبق اندازه پذیر بودن $g$ پس $ g^{-1}(V) $ در فضای $ Y $ اندازه پذیر است. حالا چطور میشه ثابت کرد که $ f^{-1}(g^{-1}(V) ) $ مجموعه ای اندازه پذیر در فضای $X$ می باشد؟ به عبارتی دیگر آیا هر مجموعه اندازه پذیر باز است؟

Comments

چرا فرض می کنید $V$ مجموعه ای باز باشه؟
مگر تعریف اندازه پذیر بودن چیه؟

---

شما سه تا فضای اندازه پذیر دارید مثل $(X,M_1)$ و $(Y,M_2)$ و $(Z,M_3)$ و $g\circ f:X\to Z$ اندازه پذیر هست هر گاه هر مجموعه ی اندازه پذیر $A\in M_3$ را در نظر بگیرید آنگاه $(g\circ f)^{-1}(A)$ در $X$ اندازه پذیر باشد. که این هم فکر میکنم واضح باشه نه؟

---

تو کتاب آنالیز حقیقی والتر رودین تعریف نگاشت اندازه پذیر به این صورت آمده:
یک نگاشت اندازه پذیر است اگر تصویر وارون هر مجموعه باز ، یک مجموعه اندازه پذیر باشد.

---

این تعریف برای وقتیه که برد یک فضای توپولوژیک باشه.
شما پس باید بگم نحوه پرسشتون کاملا اشتباه هست و من اشتباهم این بود که باید همان اول میپرسیدم منظورتون از X و Y و Z چیه!؟
من فرض کردم منظور شما این هست که هر سه تای آنها فضاهای اندازه پذیر هستن نه توپولوژیک.
پس شما لطف کنید سوالتون رو کاملا ویرایش کنید دقیق بنویسید X و Y و Z چی هستن؟

---

درسته. حق با شماست.
طبیعتا چون f و g هر دو اندازه پذیر هستند پس باید دامنه هاشون یعنی X و Y فضاهای اندازه پذیر باشند و Z فضایی توپولوژیکی . که این هم اثباتش ساده است.
حالا اگه فقط X اندازه پذیر باشه و Y و Z توپولوژیکی باز میشه اینو ثابت کرد؟

Answer 1

اگر $Y , Z$ فضاهای توپولوژیک باشند تعریف اندازه پذیری $g:Y\to Z$ چه خواهد بود؟
من به کتاب رودین نگاه انداختم تعریف تابع اندازه پذیر را برای وقتی گفته که دامنه فضایی اندازه پذیر باشد و برد فضایی توپولوژیک.

به نظر میرسه وقتی یک فضای توپولوژیک در نظر میگیره گویا آن فضای توپولوژیک را به همراه سیگماجبر بورل در نظر میگیرد.
پس چنانچه فرض کنیم $Y$ به همراه سیگما جبر بورل در نظر بگیریم( یا هر سیگماجبر دیگری) در اینصورت از باز بودن $V\subset Z$ نتیجه میگیریم که $g^{-1}(V)$ مجموعه ای اندازه پذیر(یعنی منظورمان بورل اندازه پذیر هست!) در $Y$ خواهد بود و چون $f:X\to Y$ اندازه پذیر است پس $f^{-1}(g^{-1}(V))$ در $X$ اندازه پذیر است.
حالا من با روند کتاب رودین آشنایی ندارم ولی در حالت کلی تعریف تابع اندازه پذیر $f$ از فضای اندازه پذیر $(X, \mathcal M)$ به فضای اندازه پذیر $(Y,\mathcal N)$ این هست که اگر  $V\in \mathcal N$آنگاه  $f^{-1}(V)\in \mathcal N$  یعنی اگر $V\subset Y$ اندازه پذیر باشد آنگاه $f^{-1}(V)\subset X$ اندازه پذیر باشد.
و وقتی $Y$ فضایی توپولوژیک باشد با سیگماجبر بورل انگاه اندازه پذیری $f$ معادل است با اینکه اگر $V\subset Y$ باز باشد آنگاه $f^{-1}(V)\subset X$ اندازه پذیر باشد. (چرا که سیگماجبر بورل توسط گردایه مجموعه های باز تولید می شود)

Comments

به نظر منم باید همینطور باشه.

Y و Z را فضاهای توپولوژیکی با سیگما جبر بورل در نظر گرفته که نهایتا خودشون میشن فضاهای اندازه پذیر.

ممنون