به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
174 بازدید
در دانشگاه توسط Minakhalafi

اگر$ \mu (X)< \infty $وfتابع نامنفی واندازه پذیرباشدبطوریکه$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int f^{n} d \mu $موجودومتناهی باشدنشان دهید:$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int f^{n} d \mu = \mu \big( \lbrace x \in X:f(x)=1\rbrace \big) $

مرجع: کتاب فولند
توسط Maisam.Hedyehloo
ممکنه بگید این مساله تو کدوم صفحه از کتاب فولند هست!!!!! یا عکس بگیرید بزارید.
توسط Minakhalafi
با سلام کتابی که به ما تدریس میشه فولند این سوال امتحان ما بود که متاسفانه نتونستم حل کنم حالا اگه تونستین راهنمایی بفرمابید.
توسط Maisam.Hedyehloo
حلش را گذاشتم. منبع سوالتون اشتباست.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط saderi7

سلام دوست عزیز,

ابتدا مجموعه های زیر را تعریف کنید:

$$A=\left\{x\in X: f(x) > 1\right\}$$ $$B=\left\{x\in X: f(x) < 1\right\}$$ $$C=\left\{x\in X: f(x)=1\right\}$$

بوضوح داریم:

$$A\cup B\cup B\cup C=X$$

بنابراین می توان نوشت:

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \int_X f^{n} d \mu = lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu $$

حال به برسسی تک تک انتگرال ها روی مجموعه های تعریف شده می پردازیم.

بوضوح داریم:

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu = \mu \big( \lbrace x \in X:f(x)=1\rbrace \big)$$ و همچنین با ستفاده از قضیه همگرایی تسلطی داریم: $$lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu =0$$ و در انتها طبق متنهایی بودن حد و قضیه همگرایی یکنوا داریم:
$\mu(A)=0$ که سرانجام می توانیم نتیجه بگیریم: $$\lim_{n \rightarrow \infty } \int f^{n} d \mu = \mu \big( \lbrace x \in X:f(x)=1\rbrace \big)$$

ویرایش 1: روی مجموعه $B$ تعریف کنید $g_n=f^n$ که بوضوح $g$ تابع از بالا کراندار می باشد و کران بالای تابع که $1$ هست که انتگرال پذیر است و $g_n \to 0$ پس قضیه همگرایی تسلطی داریم: $$lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu = \int_B lim_{n \rightarrow \infty } f^{n} d \mu=0$$

ویرایش 2:

برای قسمت بعدی

روی مجموعه $A$ تعریف کنید $g_n=f^n$ که بوضوح $g$ تابع از اکیدا صعودی می باشد و سوپریمم تابع که $\infty$ هست , $g_n \to \infty$ پس قضیه همگرایی یکنوا را میتوانیم استفاده کنیم که داریم:

$$lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu =\infty$$

که این با متنهای بودن حد زیر در تناقض است بنابرین اندازه مجموعه $A$ صفر میباشد یا سرعت میل کردن ان بیشتر از $f^n$ که در هر دو حالت داریم. b مقدار ثابت است. $$ \infty> b= \lim_{n \rightarrow \infty } \int_X f^{n} d \mu = lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu $$ $$= lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+a $$ $$= \int_X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n} d \mu +a $$ به خلف فرض کن $\mu(A)$ صفر نباشد بنابرین داریم : $ \int_X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n}\to \infty $

که نشان می دهد $a+\infty=b $ نتاقض است با منتهای بود $b$ بنایرین:

$$\mu(A)=0$$ و در نتیجه: $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu = \int _X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n} d \mu =0 $$

توسط Maisam.Hedyehloo
مگه $\lim_{n \rightarrow  \infty }  \int_C  f^{n} d \mu$ متنهای نیست! و $lim_{n \rightarrow  \infty }  \int_B  f^{n} d \mu$ نامتهای میشه چون f بزرگتر است یک بنابرین باید اندازه A بشه صفر.
توسط mohsenmoradi
اقا میثم یه چرا اندازه های A.Bصفر شده  واین که میشه یه کم مسیله رو.با جزییات بنوسید ممنون میشم
توسط mohsenmoradi
من.نشون.دادم استادم ایشون.کفت که باشد یه.کم.مراحل.رو.با جزییات کامل بنویسید  میشه منبع این سوال رو بگید خودم بنوسیم
توسط Maisam.Hedyehloo
الان براتون جواب واضحه؟؟؟ نمیدونم منبعش کجاست!!!
توسط mohsenmoradi
راستش  ویرایش یک درسته لما من ویرایش دو مشگل دارم که چطور به تناقض رسید

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...